1. Giới thiệu về phép trừ hai vectơ và lý do quan trọng

Trong chương trình toán lớp 10, phép trừ hai vectơ là một kĩ năng cơ bản giúp học sinh hiểu rõ hơn về các đại lượng vectơ trong hình học không gian và giải quyết các bài toán về độ dài, hướng di chuyển. Nắm vững phép trừ vectơ giúp học sinh xây dựng nền tảng cho việc học hình học giải tích sau này, đồng thời áp dụng được vào các tình huống thực tế như chuyển động vật thể, xác định vị trí tương đối, giải toán vật lý...

2. Phân tích đặc điểm của bài toán phép trừ hai vectơ

Bài toán phép trừ hai vectơ thường có dạng: Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$, hãy tính hoặc biểu diễn$\vec{a} - \vec{b}$hoặc tìm tọa độ của$\vec{a} - \vec{b}$. Bài toán còn có thể yêu cầu chứng minh quan hệ hình học, tính độ dài hay tìm vectơ kết hợp các phép toán cộng, trừ.

• Có thể làm việc với hai vectơ cùng điểm đầu hoặc khác điểm đầu.
• Dạng bài tập phổ biến: Tìm đồ thị, xác định tọa độ, vẽ hình minh họa, áp dụng vào tam giác, hình bình hành...

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết bài toán phép trừ hai vectơ, học sinh cần xác định rõ dữ kiện cho sẵn (toạ độ, độ dài cạnh, biểu thức vectơ), vẽ hình minh họa nếu có thể và áp dụng các công thức cơ bản. Việc kết hợp giữa tư duy hình học và đại số (toạ độ) là rất quan trọng.

• Bước 1: Đọc kỹ đề, phát hiện dữ kiện cho sẵn (toạ độ, biểu thức, hình vẽ...)
• Bước 2: Xác định vectơ cần tính và biểu diễn bằng toạ độ hoặc đồ thị nếu cần.
• Bước 3: Áp dụng định nghĩa phép trừ hai vectơ.
• Bước 4: Thực hiện phép tính theo quy tắc toạ độ hoặc di chuyển trên hình vẽ.
• Bước 5: Kiểm tra lại kết quả bằng hình học hoặc so sánh các giá trị.

4. Các bước giải quyết phép trừ vectơ với ví dụ minh họa

Xét phép trừ hai vectơ trong hệ trục Oxy. Mỗi vectơ có dạng$\vec{a} = (x_1, y_1)$,$\vec{b} = (x_2, y_2)$.

- Ví dụ 1: Tính toạ độ vectơ $\vec{a} - \vec{b}$

Cho$\vec{a} = (3, 5)$và $\vec{b} = (1, 2)$. Tìm$\vec{a} - \vec{b}$.

• Bước 1: Xác định toạ độ các vectơ:$\vec{a}=(3,5)$,$\vec{b}=(1,2)$
• Bước 2: Áp dụng công thức:$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$
• Bước 3: Thay số:$\vec{a} - \vec{b} = (3-1, 5-2) = (2, 3)$
• Kết luận:$\vec{a} - \vec{b} = (2,3)$

- Ví dụ 2: Biểu diễn phép trừ hai vectơ trên hình học phẳng

Cho hai vectơ $\vec{u}$và $\vec{v}$cùng gốc tại điểm$A$. Hãy biểu diễn$\vec{u} - \vec{v}$bằng hình học.

• Vẽ hai vectơ $\vec{u}$,$\vec{v}$có cùng điểm đầu$A$.
• Từ định nghĩa:$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$. Nghĩa là lấy vectơ $\vec{u}$rồi cộng vectơ đối$-\vec{v}$.
• Biểu diễn$-\vec{v}$là vectơ cùng độ dài với$\vec{v}$nhưng ngược hướng.
• Kết hợp theo quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc hình tam giác để vẽ $\vec{u} + (-\vec{v})$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Với hai vectơ $\vec{a} = (x_1, y_1)$và $\vec{b} = (x_2, y_2)$, ta có:

• $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$

• Định nghĩa hình học:$\vec{a} - \vec{b}$là vectơ bắt đầu từ điểm đầu của$\vec{b}$ đến điểm đầu của$\vec{a}$(nếu$\vec{a}$và $\vec{b}$cùng điểm cuối).

• Quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành trong hình học vectơ.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Tuỳ đề bài có thể xuất hiện các biến thể như:

• Tìm độ dài|null của vectơ $\vec{a} - \vec{b}$: Tính thêm $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$
• Bài toán kết hợp phép toán có trọng số:$\vec{a} - 2\vec{b}$,$3\vec{a} - \vec{b}$→ Thực hiện bội số trước khi trừ.
• Bài toán cần lập luận hình học (ví dụ trong tam giác, hình bình hành): Dùng quy tắc chuyển vectơ thành hiệu đoạn thẳng, áp dụng các tính chất hình học.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm$A(2, 3)$,$B(5, 8)$và $C(6, 2)$. Tính vectơ $\vec{AB} - \vec{AC}$.

• Bước 1: Tìm toạ độ các vectơ.
• $\vec{AB} = (5-2, 8-3) = (3, 5)$
• $\vec{AC} = (6-2, 2-3) = (4, -1)$
• $\vec{AB} - \vec{AC} = (3-4, 5-(-1)) = (-1, 6)$

Vậy$\vec{AB} - \vec{AC} = (-1, 6)$

Bài tập mẫu 2: Cho$\vec{a} = (1, -2)$,$\vec{b} = (4, 3)$. Hãy tính độ dài của vectơ $\vec{a} - \vec{b}$.

• $\vec{a} - \vec{b} = (1-4, -2-3) = (-3, -5)$
• $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

Đáp số: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{34}$

8. Bài tập thực hành

1. Cho$\vec{a} = (2, 7)$,$\vec{b} = (5, 1)$. Tính$\vec{a} - \vec{b}$.

2. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm$E(1, 2)$,$F(0, -3)$. Tính$\vec{EF} - \vec{FE}$.

3. Cho$\vec{u} = (0, 6)$,$\vec{v} = (-2, 9)$. Tính độ dài của$\vec{u} - \vec{v}$.

4. Cho$\vec{m} = (a, b)$,$\vec{n} = (c, d)$. Hãy viết công thức tổng quát cho$\vec{m} - 3\vec{n}$.

9. Các mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn trừ toạ độ theo thứ tự, chú ý dấu âm.
• Đừng nhầm lẫn giữa phép trừ hai vectơ với phép trừ hai đoạn thẳng (vectơ là đại lượng có hướng).
• Khi có bội số: Thực hiện phép nhân vectơ với số trước, sau đó mới cộng/trừ.
• Vẽ hình minh hoạ khi gặp bài toán hình học để trực quan hơn.
• Kiểm tra lại đáp số bằng cách thay lại vào đề hoặc so sánh tổng thành phần.