1. Giới thiệu về bài toán phương trình chính tắc của hyperbol và tầm quan trọng

Bài toán phương trình chính tắc của hyperbol là một dạng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, nằm trong phần Hình học giải tích. Việc thành thạo kiến thức về hyperbol giúp học sinh hiểu sâu hơn về các đường conic, nâng cao tư duy logic và chuẩn bị nền tảng vững chắc cho các kiến thức hình học không gian, giải tích ở các lớp trên và các kỳ thi quan trọng như thi vào lớp 10, thi THPT quốc gia. Bên cạnh đó, hyperbol còn có ứng dụng thực tế trong vật lý và kỹ thuật.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán phương trình chính tắc của hyperbol

- Hyperbol là một đường conic có hai nhánh đối xứng với nhau qua hai trục tọa độ.

- Phương trình chính tắc của hyperbol tại tâm$O(0;0)$gồm 2 dạng:

+$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$(trục lớn nằm trên trục Ox)

+$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$(trục lớn nằm trên trục Oy)

- Các yếu tố đặc trưng: Tâm, tiêu điểm, tiêu cự, các đường tiệm cận.

- Bài toán thường yêu cầu xác định phương trình hyperbol khi biết các yếu tố: tâm, trục, tiêu điểm, điểm thuộc hyperbol hoặc chỉ số tiêu cự $e$, v.v.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để giải bài toán về phương trình chính tắc của hyperbol, học sinh cần:

Xác định dạng phương trình cần tìm (tâm tại gốc, trục nào là trục lớn, phương trình tổng quát hay chính tắc)

Tìm các thông số chính:$a$,$b$,$c$(tiêu cự),$e$(tâm sai), dựa vào dữ kiện đề bài

Áp dụng công thức liên hệ:$c^2 = a^2 + b^2$,$e = \frac{c}{a}$

Viết phương trình chính tắc từ các thông số đã xác định

Kiểm tra đáp án theo dữ kiện đề bài (chẳng hạn, điểm cho trước có thuộc hyperbol không)

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định dạng hyperbol

- Nếu phương trình có dạng$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$, trục lớn trùng với$Ox$.
- Nếu$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2}=1$, trục lớn trùng với$Oy$.

Bước 2: Xác định các thông số $a$,$b$,$c$,$e$

- Nếu biết tiêu cự $2c$:$c = \frac{1}{2}$tiêu cự.
- Nếu biết$a$, tính$b$theo công thức$c^2 = a^2 + b^2$.
- Nếu biết tâm sai$e$:$e = \frac{c}{a}$.

Bước 3: Viết phương trình chính tắc
Dựa trên các giá trị $a$,$b$.

Bước 4: Kiểm tra hoặc điều chỉnh phương trình (nếu cần)
Sử dụng các dữ kiện như điểm đi qua; nếu chưa đủ thông tin, có thể thiết lập thêm phương trình để giải hệ.

Ví dụ minh họa:

"Viết phương trình chính tắc của hyperbol có tâm tại$O$, trục lớn trùng với$Ox$, đi qua điểm$A(5;3)$, biết$a = 4$."

- Dạng phương trình:$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$với$a=4$.
-$<br /> \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2}=1$
- Vì hyperbol đi qua$A(5;3)$:
$<br />\frac{5^2}{16} - \frac{3^2}{b^2}=1\<br /> \Rightarrow \frac{25}{16} - \frac{9}{b^2}=1\<br /> \Rightarrow \frac{9}{b^2}=\frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}\<br /> \Rightarrow b^2 = 16\<br />$
- Vậy phương trình hyperbol cần tìm:
$<br />\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1<br />$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Phương trình chính tắc (tâm$O$):$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$hoặc$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$

-$c^2 = a^2 + b^2$($c$là khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm)

- Tâm sai:$e = \frac{c}{a}$

- Hệ phương trình xác định$b^2$nếu biết điểm thuộc hyperbol:$\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}=1$

- Đường tiệm cận:$y = \pm \frac{b}{a}x$(với$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$)

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

a) Tâm không phải tại O:
Phương trình:$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$hoặc ngược lại (tùy trục lớn).

b) Cho tiêu cự hoặc tâm sai:
Từ các đại lượng đó, tìm$a$,$b$,$c$rồi viết phương trình.

c) Cho điểm thuộc hyperbol:
Thường thiết lập thêm phương trình phụ để giải cho$a$,$b$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu:
Viết phương trình chính tắc của hyperbol biết rằng tâm tại$O$, trục lớn trùng với$Oy$, đi qua$B(2;5)$, biết tiêu cự là $10$.

Bước 1:$2c=10 \Rightarrow c=5$. Vì trục lớn trùng$Oy$nên phương trình dạng$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2}=1$.

Bước 2: Vì $c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 25 = a^2 + b^2$.

Bước 3: Điểm$B(2;5)$thuộc hyperbol nên:
$<br />\frac{5^2}{b^2} - \frac{2^2}{a^2}=1\<br /> \Rightarrow \frac{25}{b^2} - \frac{4}{a^2}=1<br />$

Bước 4: Đặt $b^2 = t$, $a^2 = 25 - t$:
$<br />\frac{25}{t} - \frac{4}{25-t}=1\<br /> \Rightarrow 25(25-t) - 4t = t(25-t)\<br /> \Rightarrow 625 - 25t - 4t = 25t - t^2\<br /> \Rightarrow 625 - 29t = 25t - t^2\<br /> \Rightarrow 625 - 29t - 25t + t^2 = 0\<br /> \Rightarrow t^2 - 54t + 625=0\<br /> <br />Giải phương trình bậc hai:<br />$
\Delta = (-54)^2 - 4 \cdot 625 = 2916 -2500=416>0\
t=\frac{54 \pm \sqrt{416}}{2} \approx 47.21\text{hoặc} 6.79
$<br />Phải chọn$b^2 > 0$và$a^2 >0$. Đặt$b^2 = 47.21$,$a^2 = 25 - 47.21 = -22.21$(loại) hoặc$b^2 = 6.79$,$a^2 =18.21$.

Chọn$b^2=6.79$,$a^2=18.21$.

Vậy phương trình:
$<br />\frac{y^2}{6.79} - \frac{x^2}{18.21} = 1<br />$

8. Bài tập thực hành

1. Viết phương trình chính tắc của hyperbol có tâm tại$O$,$a=3$, đi qua$C(5;2)$. (Trục lớn trùng$Ox$)

2. Viết phương trình chính tắc của hyperbol có tâm tại$O$, trục lớn$Oy$, biết$b=6$,$a=2$.

3. Viết phương trình chính tắc của hyperbol tâm$O$,$a=4$, tiêu cự $2c = 10$.

4. Viết phương trình chính tắc của hyperbol tâm$O$, biết$b=5$,$c=13$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

Cần chú ý chính xác dạng phương trình (trục lớn trùng Ox hay Oy). Xác định đúng dạng mới áp dụng công thức chính xác.

Hệ số $b^2$và $a^2$luôn dương. Nếu tính ra$a^2$hoặc$b^2$ âm là sai.

Chú ý các mối liên hệ:$c^2 = a^2 + b^2$cho hyperbol. Không nhầm lẫn với ellipse.

Với bài cho điểm thuộc hyperbol, luôn thay đúng toạ độ vào phương trình để tính toán.

Số liệu nên giữ ít nhất 2 chữ số thập phân với kết quả không tròn.

Kiểm tra lại đáp số bằng cách thay ngược các dữ kiện vào phương trình vừa lập để kiểm tra độ chính xác.

Hướng dẫn đầy đủ chiến lược giải bài toán phương trình chính tắc của hyperbol lớp 10 với công thức, ví dụ chi tiết, bài tập mẫu và mẹo tránh sai lầm thường gặp.

Cách giải bài toán phương trình chính tắc của hyperbol lớp 10 - Chiến lược & Ví dụ cụ thể

Tìm hiểu cách giải bài toán phương trình chính tắc của hyperbol lớp 10 với chiến lược chi tiết, công thức LaTeX, bài tập mẫu, ví dụ minh họa và hướng dẫn từng bước dễ hiểu.

cách giải bài toán phương trình chính tắc của hyperbolhướng dẫn giải hyperbol lớp 10bài tập phương trình chính tắc hyperbolphương pháp giải phương trình hyperbolchiến lược giải toán lớp 10

Phương trình chính tắc của hyperbolHyperbolGiải phương trình hyperbolLớp 10

Lớp 10