Chiến lược giải quyết bài toán tìm hệ số của một số hạng trong khai triển nhị thức Newton lớp 10

1. Giới thiệu về bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Bài toán tìm hệ số của một số hạng trong khai triển nhị thức Newton là dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Trong đó, học sinh phải xác định hệ số của một số hạng chứa ẩn hoặc số mũ cố định khi khai triển biểu thức dạng $(a + b)^n$ theo công thức Newton. Đây là một kỹ năng thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ, và cả ôn thi đại học.

Tầm quan trọng của bài toán này không chỉ giúp học sinh thành thạo với công thức nhị thức Newton mà còn luyện kỹ năng nhận diện, phân tích số hạng, và vận dụng các kỹ thuật đại số một cách linh hoạt.

2. Đặc điểm nhận biết và phân tích bài toán

- Bài toán thường yêu cầu: Tìm hệ số của số hạng chứa$x^k$trong khai triển$(ax + b)^n$hoặc (a + bx)^n$.
- Dạng khai triển là lũy thừa của một tổng hai hạng.
- Số mũ khá lớn, không thể khai triển thủ công toàn bộ.
- Yêu cầu vận dụng công thức nhị thức Newton để giải quyết.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

• Nhận diện loại bài toán và xác định các thành phần a, b, n, k của biểu thức.
• Áp dụng công thức nhị thức Newton để xác định dạng tổng quát của một số hạng bất kỳ.
• Tìm chỉ số (số mũ) phù hợp với số hạng cần tìm (thường liên quan đến giá trị k).
• Tính hệ số dựa vào công thức tổ hợp và các lũy thừa của a, b.
• Đặc biệt phân tích kỹ nếu có x xuất hiện ở cả hai hạng: đổi biến đúng hướng.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Công thức khai triển nhị thức Newton:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k$

Số hạng tổng quát thứ $(k+1)$(kừ $k=0$ đến$n$) trong khai triển là:

$A_{k+1} = \mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k$

Ví dụ 1: Tìm hệ số của$x^3$trong khai triển$(2x - 1)^5$

- Xác định hàm số:$a = 2x$,$b = -1$,$n = 5$.
- Số hạng chứa$x^3$xuất hiện khi chọn số mũ của$x$là 3.
Ta viết tổng quát số hạng có chứa$x^3$là:

$A_k = \mathrm{C}_5^{k} (2x)^{5-k} (-1)^k$

- Ta cần có $x^3$:$(2x)^{5-k}$có chứa$x^3 \rightarrow 5-k=3 \Rightarrow k=2$.

Thay$k=2$và tính hệ số:

$A_2 = \mathrm{C}_5^2 (2)^{3} x^{3} (-1)^2 = 10 \times 8 \times x^3 \times 1 = 80x^3$

Vậy hệ số của$x^3$là $80$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k$
• Số hạng tổng quát:$\mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k$
• Công thức tổ hợp:$\mathrm{C}_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Cách xác định chỉ số $k$: Xét số mũ của biến cần tìm trong$(a x^m + b)^n$thì $m(n-k) = b$, giải tìm$k$.

6. Các biến thể của bài toán và chiến lược điều chỉnh

- Biến thể 1:$(ax + b)^n$(giống trên, tách$x$ra khỏi lũy thừa, xác định$k$sao cho mũ $x$ ứng với số hạng cần tìm)
- Biến thể 2:$(a + bx)^n$(chỉ cần đổi vai trò $a$và $b$)
- Biến thể 3:$(px^m + qx^n)^{r}$(cần chú ý cộng số mũ và giải phương trình số mũ x)
-> Trong trường hợp hai biểu thức đều chứa$x$: Số hạng chứa$x^k$là tổng các số mũ $x$trong từng hạng tử.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Tìm hệ số của$x^4$trong khai triển$(3x^2 - 2)^6$.
Bước 1: Xác định số hạng tổng quát:$A_k = \mathrm{C}_6^k (3x^2)^{6-k}(-2)^k$
Bước 2: Số mũ của$x$là $2(6-k)$. Để có $x^4$phải có $2(6-k) = 4 \Rightarrow 6-k=2 \Rightarrow k=4$.
Bước 3: Thay$k=4$vào công thức:

$A_4 = \mathrm{C}_6^4 (3x^2)^{2}. (-2)^4 = 15 \times 9x^4 \times 16 = 15 \times 9 \times 16 x^4$.
Hệ số là:$15 \times 9 \times 16 = 2160$
Vậy hệ số là $2160$.

8. Bài tập thực hành

• Tìm hệ số của$x^5$trong khai triển$(x + 2)^7$.
• Tìm hệ số của$x^2$trong khai triển$(2x - 3)^5$.
• Tìm hệ số của$x^7$trong khai triển$(x^2 + 1)^5$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra kỹ số mũ của$x$và giải đúng phương trình chỉ số $k$.
• Cẩn thận với dấu âm và lũy thừa của số âm.
• Không nhầm lẫn giữa hệ số và cả số hạng (hệ số là phần số không có $x$).
• Nếu khai triển chứa các biến với số mũ khác ngoài$x$, chú ý cộng đúng các số mũ.
• Phân tích bài toán kỹ, tránh tính nhầm chỉ số $k$hoặc$n-k$.