1. Giới thiệu về loại bài toán Tính độ dài vector và tầm quan trọng

Bài toán "Tính độ dài vector" là một trong những kiến thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng với học sinh lớp 10 khi bước đầu tiếp cận chương trình hình học giải tích. Việc nắm vững cách giải bài toán tính độ dài vector không chỉ giúp học sinh vận dụng linh hoạt khi giải các bài toán vector, hình học phẳng, mà còn là công cụ đắc lực trong các dạng toán xác định khoảng cách, chứng minh hình học, ứng dụng trong thực tiễn như vật lý, kỹ thuật.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán Tính độ dài vector

- Vector thường được cho bởi tọa độ trong hệ trục$Oxy$hoặc$Oxyz$(với lớp 10 chủ yếu là $Oxy$).
- Độ dài vector (hay còn gọi là mô-đun/ module vector) là một giá trị không âm, thể hiện độ lớn mà không phụ thuộc vào phương, chiều của vector đó.
- Bài toán có thể xuất hiện ở dạng trực tiếp (cho tọa độ vector, yêu cầu tính độ dài) hoặc gián tiếp (cho hai điểm$A$,$B$, yêu cầu tính độ dài của vector$\overrightarrow{AB}$hoặc chiều dài đoạn thẳng$AB$).
- Một số bài toán kết hợp với các yếu tố hình học như tam giác, hình chữ nhật, hình thoi, v.v.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

- Nhận biết dạng đề: xác định cụ thể vector cần tính độ dài (dạng tọa độ, dạng hai điểm, dạng hình học).
- Phân tích các dữ kiện: xác định thông tin tọa độ các điểm hoặc thành phần của vector.
- Áp dụng chính xác công thức tính độ dài vector.
- Nhận diện dạng đặc biệt (vector đơn vị, vector bằng nhau, vector chéo góc,...), từ đó có thể khai thác thêm các tính chất để rút gọn hoặc kiểm tra.

4. Các bước giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định tọa độ vector

Nếu vector được cho bởi hai điểm$A(x_A; y_A)$và $B(x_B; y_B)$, ta xác định tọa độ:

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

Bước 2: Áp dụng công thức tính độ dài vector

Giả sử vector$\vec{a} = (a_1; a_2)$thì độ dài là:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

Nếu ở không gian$Oxyz$(làng lần đầu tiên học), công thức tổng quát là:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Ví dụ minh họa:

Cho$A(1;2)$,$B(4;6)$. Tính độ dài của vector$\overrightarrow{AB}$.

Giải:

Ta có $\overrightarrow{AB} = (4-1; 6-2) = (3;4)$

Độ dài: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Dạng cho vector theo hai điểm: Dùng công thức chênh lệch tọa độ.
- Dạng cho vector dạng tổng/quy ước: Ví dụ $\vec{a} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$, cần xác định tọa độ từng vector thành phần trước.
- Dạng kết hợp hình học: Vector là trung tuyến, phân giác,... cần vận dụng các kiến thức hình học phân tích để tìm đúng tọa độ.
- Dạng bài toán thực tế: Chuyển đổi bài toán thực tế sang hệ tọa độ, xác định đúng dữ kiện.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập 1: Cho$A(2,-1)$,$B(5,3)$,$C(4,0)$. Tính độ dài các vector$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:
- Tìm tọa độ từng vector:
+$\overrightarrow{AB} = (5-2; 3-(-1)) = (3;4)$
+$\overrightarrow{AC} = (4-2; 0-(-1)) = (2;1)$
+$\overrightarrow{BC} = (4-5; 0-3) = (-1;-3)$

- Tính độ dài:
+ $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
+ $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
+ $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$

Bài tập 2: Vector$\vec{a} = (6;8)$. Tính độ dài$|\vec{a}|$.

Lời giải:
$|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý tránh nhầm lẫn phổ biến

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên, học sinh sẽ nắm vững cách giải bài toán tính độ dài vector và áp dụng linh hoạt vào nhiều dạng bài trong chương trình lớp 10 cũng như trong thực tế.