Chiến lược giải quyết bài toán Tính xác suất biến cố hợp, giao, đối (Lớp 10)

1. Giới thiệu bài toán và tầm quan trọng của xác suất biến cố hợp, giao, đối

Trong chương trình toán lớp 10, xác suất là chủ đề quan trọng giúp học sinh tiếp cận tư duy logic, khả năng ước lượng khả năng xảy ra của các sự kiện (biến cố) trong thực tế. Bài toán "tính xác suất biến cố hợp, giao, đối" là loại bài tập đặc trưng với các thao tác tư duy về tập hợp và xác suất. Thành thạo loại bài này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về xác suất trong các kỳ thi THPT cũng như các ứng dụng thực tế về rủi ro, ước lượng.

2. Đặc điểm của bài toán về xác suất hợp, giao, đối

• Biến cố hợp ($A \cup B$): Biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$xảy ra.
• Biến cố giao ($A \cap B$): Biến cố xảy ra khi cả $A$và $B$ đều xảy ra.
• Biến cố đối ($\overline{A}$): Biến cố xảy ra khi$A$không xảy ra.
• Quan hệ giữa các biến cố thường thể hiện qua sơ đồ Ven hoặc bảng liệt kê các trường hợp.
• Hầu hết các bài toán cần nhận diện mối liên hệ giữa các biến cố trước khi áp dụng công thức xác suất.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Bước 1: Xác định không gian mẫu$\Omega$và các biến cố $A$,$B$.
• Bước 2: Nhận diện loại biến cố cần tính (hợp, giao, đối) & mô tả bằng ký hiệu.
• Bước 3: Lập luận các trường hợp thuận lợi cho từng biến cố.
• Bước 4: Dùng công thức xác suất để tính.
• Bước 5: Kiểm tra và trình bày kết quả.

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa:

Xét một hộp có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 1 bi. Gọi$A$: rút được bi đỏ,$B$: rút được bi xanh.Tính xác suất các biến cố sau:

• a)$A \cup B$
• b)$A \cap B$
• c)$\overline{A}$

Giải:

• Tổng số bi:$4 + 3 = 7 \Rightarrow n(\Omega) = 7$.
• -$A \cup B$: Ít nhất 1 trong 2 biến cố xảy ra, tức là rút được bi đỏ hoặc bi xanh. Vì không còn bi nào khác nên$A \cup B$chắc chắn xảy ra$\Rightarrow P(A \cup B) = 1$.
• -$A \cap B$: Rút được đồng thời cả bi đỏ và bi xanh trong 1 lần là không thể xảy ra$\Rightarrow P(A \cap B) = 0$.
• -$\overline{A}$: Rút được bi không phải đỏ, tức là bi xanh. $n(\overline{A}) = 3 \Rightarrow P(\overline{A}) = \frac{3}{7}$

Chú ý: Một số bài toán biến cố hợp, giao, đối xảy ra khi số trường hợp đủ, giao nhau hoặc không giao nhau.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức xác suất cơ bản:$\displaystyle P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• Công thức xác suất hợp hai biến cố:$\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Nếu$A$và $B$xung khắc (không giao nhau):$\displaystyle P(A \cap B) = 0 \implies P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Công thức xác suất đối:$\displaystyle P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
• Công thức giao:$\displaystyle P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Biến cố không xung khắc ($A \cap B \neq \emptyset$): Xác định số trường hợp giao và áp dụng đúng công thức hợp.
• Biến cố đối của hợp:$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$, xác suất:$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
• Biến cố đối của giao:$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$, xác suất:$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$.
• Ba biến cố: Với$A$,$B$,$C$phải quan sát kỹ các phần giao nhau từng cặp và cả ba.
• Sử dụng sơ đồ Ven giúp hình dung rõ trường hợp giao, hợp giữa nhiều biến cố.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Trong một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2 viên bi vàng. Rút ngẫu nhiên 1 viên bi. Gọi$A$: rút được bi đỏ,$B$: rút được bi xanh. Tính xác suất các biến cố sau:

• a)$A \cup B$;
• b)$A \cap B$;
• c)$\overline{A}$.

Lời giải chi tiết:

1. Xác định số phần tử không gian mẫu:$n(\Omega) = 5 + 3 + 2 = 10$.
2. Số trường hợp$A$: rút được bi đỏ:$n(A) = 5 \implies P(A) = \frac{5}{10} = 0{,}5$.
3. Số trường hợp$B$: rút được bi xanh:$n(B) = 3 \implies P(B) = \frac{3}{10} = 0{,}3$.
4. a)$A \cup B$: Rút được bi đỏ hoặc xanh,$n(A \cup B) = 5 + 3 = 8 \implies P(A \cup B) = \frac{8}{10} = 0{,}8$.
5. b)$A \cap B$: Không có bi nào vừa đỏ vừa xanh nên$n(A \cap B) = 0 \implies P(A \cap B) = 0$.
6. c)$\overline{A}$: Không phải bi đỏ (tức là bi xanh + bi vàng),$n(\overline{A}) = 3 + 2 = 5 \implies P(\overline{A}) = \frac{5}{10} = 0{,}5$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Một xí ngầu 6 mặt được gieo 1 lần. Gọi$A$: mặt chẵn,$B$: mặt lớn hơn 3. Tính$P(A)$,$P(B)$,$P(A \cap B)$,$P(A \cup B)$,$P(\overline{A})$.
2. Có 12 thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ. Gọi$A$: thẻ chia hết cho 3,$B$: thẻ chia hết cho 4. Hãy tính$P(A)$,$P(B)$,$P(A \cap B)$,$P(A \cup B)$,$P(\overline{A})$.
3. Một hộp có 6 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi. Gọi$A$: bi xanh,$B$: bi đỏ. Hãy tính$P(A)$,$P(B)$,$P(A \cup B)$,$P(A \cap B)$.

9. Mẹo ghi nhớ, lưu ý và tránh sai lầm khi giải bài toán

• Luôn xác định rõ không gian mẫu$\Omega$, tránh nhầm lẫn số lượng trường hợp.
• Giao hai biến cố chỉ xảy ra với các trường hợp chung, nếu không có thì xác suất bằng 0.
• Kiểm tra xem các biến cố có xung khắc (không giao nhau) không trước khi áp dụng công thức hợp.
• Dùng sơ đồ Ven hoặc bảng liệt kê để tránh sót/trùng trường hợp.
• Áp dụng công thức xác suất đối khi muốn tìm xác suất "không xảy ra".
• Trình bày rõ ràng, tránh bỏ qua bước biến đổi hoặc mô tả biến cố.