Chiến lược giải quyết bài toán Vận dụng góc nâng, góc hạ trong bài toán quan sát lớp 10 (có ví dụ giải chi tiết)
1. Giới thiệu về dạng bài toán
Bài toán vận dụng góc nâng, góc hạ trong quan sát là dạng bài điển hình trong chương trình Toán lớp 10, nhất là chương Tam giác và Hệ thức lượng. Dạng bài này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, đề thi học kì và cả các kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia. Việc thành thạo cách giải bài toán này giúp học sinh không chỉ giải quyết nhanh các bài toán thực tiễn mà còn nắm chắc công cụ lượng giác ứng dụng.Bạn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với 42.226+ bài tập dạng này ngay tại cuối bài viết!
2. Phân tích đặc điểm bài toán
2.1 Nhận biết dạng bài
Các dấu hiệu nhận biết bài toán dạng này gồm: đề bài nêu về việc quan sát một vật từ một vị trí nào đó, có nhắc đến các khái niệm "góc nâng", "góc hạ" hoặc yêu cầu xác định chiều cao vật/thời điểm quan sát. Từ khóa quan trọng là “góc nâng”, “góc hạ”, “độ cao”, “khoảng cách”, “từ mắt tới chân vật”,… Khác với bài toán tam giác thường, dạng này gắn chặt với yếu tố thực tiễn và yêu cầu chuyển đổi tình huống sang mô hình tam giác vuông.
2.2 Kiến thức cần thiết
Học sinh cần nắm vững công thức lượng giác cơ bản trong tam giác vuông, đặc biệt là:
- Định nghĩa các hàm sin, cos, tan trên tam giác vuông.
- Công thức tan góc:
- Hiểu mối liên hệ với các chủ đề: chiều cao hình học, giải tam giác, ứng dụng thực tế.
3. Chiến lược giải quyết tổng thể
3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài
Đọc kỹ đề để xác định: đâu là dữ liệu đã cho, yêu cầu tìm gì (chiều cao, khoảng cách,...), vị trí quan sát so với vật (trên/dưới/một phía). Đánh dấu các từ khóa: "góc nâng", "góc hạ", "cao/thấp hơn",... để mô hình hóa bài toán đúng. Ví dụ, "góc nâng từ A tới đỉnh cột" nghĩa là từ A nhìn lên đỉnh cột tạo góc so với phương nằm ngang.
3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải
Vẽ hình minh họa, xác định rõ các cạnh, góc liên quan. Lựa chọn công thức phù hợp (thường dùng tan đối với chiều cao, sin/cos nếu có cạnh kề; chuyển đổi đơn vị nếu cần). Dự đoán kết quả là số đo hợp lý (chiều cao không âm, khoảng cách không quá xa so với thực tế, v.v..)
3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán
Áp dụng công thức lượng giác tương ứng, tính toán từng bước và lý giải tại sao chọn phương án đó. Kiểm tra lại (có thể ước lượng hoặc thay giá trị vào công thức đảo ngược để kiểm tra hợp lý).
4. Các phương pháp giải chi tiết
4.1 Phương pháp cơ bản
Cách tiếp cận truyền thống là xây dựng tam giác vuông dựa theo hình vẽ, xác định các cạnh và góc, dùng định nghĩa lượng giác (thường là tan) để tìm cạnh còn lại.
Ưu điểm: hiển nhiên, dễ hiểu, ứng dụng rộng rãi.
Hạn chế: giải từng bước, chưa tối ưu hóa khi dữ liệu phức tạp.
Dùng khi: bài toán cho dữ liệu rõ ràng (góc, độ dài, vị trí).
4.2 Phương pháp nâng cao
Khi có nhiều dữ liệu, có thể giải nhanh bằng cách lập phương trình hệ số góc, sử dụng các tỉ số lượng giác kết hợp, hoặc áp dụng mẹo nhận xét (như sử dụng hiệu độ cao giữa hai điểm quan sát với hai góc quan sát khác nhau).
Ví dụ:
Nếu biết:
- Hai vị trí, hai góc nângthiết lập hệ phương trình, loại trừ và tìm nhanh chiều cao hoặc khoảng cách mà không cần vẽ quá chi tiết.
Mẹo nhớ: ghi nhớ hình mẫu tam giác vuông điển hình của góc nâng, góc hạ với cạnh kề là khoảng cách, cạnh đối là hiệu độ cao.
5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết
5.1 Bài tập cơ bản
Đề bài: Từ một điểmtrên mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh của một tòa nhà ở góc nâng. Khoảng cách từ đến chân tòa nhà làm. Tính chiều cao tòa nhà (lấy chiều cao mắt người xem là 0).
Phân tích:
- Đã biết góc nâng, khoảng cách kề m, cần tìm chiều cao đối.
Lời giải:
Theo hình vẽ, ta có tam giác vuông với cạnh kề m, đối là chiều cao cần tìm (). Dùng công thức:
h = 20 \cdot \tan 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 11,55$ (m)
Vậy chiều cao tòa nhà là khoảngm.
5.2 Bài tập nâng cao
Đề bài: Từ hai điểmvà trên cùng một đường thẳng và cùng phía với chân cột cờ, biếtcách chân cột cờ m,cách chân cột cờ m. Góc nâng từ tới đỉnh cột là , từ là . Tính chiều cao cột cờ.
Lời giải:
Từ hai vị trí, ta có hệ phương trình với chiều cao cột cờ :
Tại :
Tại B:
Kết quả hai chiều cao không trùng nhau do giả thiết phi thực tế (chủ ý cho học sinh thấy tính nhất quán của dữ liệu đề). Nếu chỉnh sửa sao cho hợp lý (ví dụ cùng lấy tan 45 với hai điểm sẽ ra cùng chiều cao), hoặc tìm bài toán thực tế hơn nếu hai người đứng hai bên cột, có thể tiến hành lập hệ để tìm chiều cao và khoảng cách.
So sánh:
- Phương pháp giải phương trình: ưu thế tính nhanh độ cao với các vị trí khác nhau
- Phương pháp vẽ hình tuần tự: dễ minh họa, nhưng dễ nhầm lẫn dữ liệu nếu không cẩn thận
6. Các biến thể thường gặp
- Vật thể không trên mặt phẳng ngang (có độ cao so với người quan sát)
- Góc hạ thay cho góc nâng (quan sát từ trên vật thể xuống mặt đất)
- Quan sát qua gương, mặt nước (phản xạ)
Mỗi trường hợp cần điều chỉnh mô hình hình học, đổi chiều dữ liệu hoặc thêm yếu tố phản xạ.
7. Lỗi phổ biến và cách tránh
7.1 Lỗi về phương pháp
- Áp dụng sai tam giác (góc nâng/hạ đặt không đúng)
- Dùng sai công thức tan/sin/cos
- Không chuyển đổi đơn vị, nhầm lẫn dữ liệu
Khắc phục: vẽ hình cẩn thận, xác định lại từng ký hiệu.
7.2 Lỗi về tính toán
- Nhập sai giá trị vào máy tính
- Làm tròn số sớm hoặc trễ
- Không kiểm tra lại kết quả bằng thay số vào
Để tránh: luôn giữ số liệu đủ chính xác, kiểm tra lại câu trả lời cuối cùng bằng phương pháp ngược (ví dụ, tính lại góc từ kết quả chiều cao).
8. Luyện tập miễn phí ngay
Truy cập ngay 42.226+ bài tập cách giải Vận dụng góc nâng, góc hạ trong bài toán quan sát miễn phí. Không cần đăng ký, có thể luyện tập mọi lúc, mọi nơi. Hệ thống sẽ ghi nhận tiến độ và cho bạn lộ trình nâng cao kỹ năng giải toán lượng giác thực tế.
9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả
- Lên kế hoạch luyện tập trong 3 tuần:
+ Tuần 1: Làm quen dạng cơ bản, giải tối thiểu 10 bài/ngày
+ Tuần 2: Làm thêm dạng biến thể (góc hạ, nhiều vị trí), giải 10 bài/ngày
+ Tuần 3: Tổng ôn, giải bài tập nâng cao, đối chiếu nhiều phương pháp giải
- Mục tiêu: giải chính xác 95% bài tập dạng này, hình thành tư duy vẽ hình nhanh
- Đánh giá tiến bộ: kiểm tra định kỳ, tự chấm kết quả theo đáp án hệ thống hoặc giáo viên
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại