1. Giới thiệu về bài toán "Vận dụng vào bài toán hình học" và tầm quan trọng của nó

Trong chương trình Toán lớp 10, các bài toán vận dụng vào bài toán hình học đóng vai trò quan trọng giúp học sinh liên hệ các kiến thức lý thuyết vào việc giải quyết tình huống thực tế hoặc bài toán tổng hợp. Đây là dạng bài thường xuất hiện trong kiểm tra, đề thi và đặc biệt quan trọng trong quá trình phát triển tư duy logic cũng như khả năng vận dụng kiến thức. Học tốt dạng toán này giúp học sinh không chỉ thành thạo kiến thức, mà còn mở rộng khả năng giải quyết vấn đề trong các tình huống thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán "Vận dụng vào bài toán hình học"

• Thường kết hợp kiến thức hình học với các phép biến hình, hệ thức đại số, phương trình đường thẳng, đường tròn,…
• Yêu cầu học sinh nhận diện được các yếu tố hình học cơ bản (điểm, đường thẳng, tam giác, đường tròn, phép đối xứng…).
• Cần xác định mối quan hệ giữa các yếu tố hình học thông qua các giả thiết và kết luận.
• Thường đòi hỏi kỹ năng vẽ hình, phân tích hình và sử dụng linh hoạt các công thức đã học.

3. Chiến lược tổng thể cho cách giải bài toán vận dụng vào bài toán hình học

• Đọc kỹ đề bài để xác định dữ kiện và yêu cầu.
• Vẽ hình minh họa rõ ràng, chính xác.
• Phân tích giả thiết, đối tượng hình học và mối liên hệ giữa chúng.
• Liệt kê các công thức, định lý, tính chất có thể áp dụng.
• Đưa ra hướng giải cụ thể (tìm ẩn số, giải phương trình, chứng minh, …).
• Kiểm tra kết quả và thử lại với hình vẽ để đảm bảo tính hợp lý.

4. Cách giải bài toán vận dụng vào bài toán hình học – Các bước chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho tam giác$ABC$với$A(0;0)$,$B(4;0)$,$C(2;3)$. Chứng minh ba điểm$A$,$B$,$C$thẳng hàng hay không? Tính diện tích tam giác$ABC$và xác định phương trình đường cao đi qua$A$.

• Bước 1: Vẽ hình dựa vào tọa độ đã cho.
• Bước 2: Kiểm tra ba điểm$A$,$B$,$C$có thẳng hàng không:

Tính diện tích tam giác$ABC$:

Áp dụng công thức tọa độ:

$<br />S = \frac{1}{2}\left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right|<br />$

Thay số vào ta có:

$<br />S = \frac{1}{2}\left| 0(0-3) + 4(3-0) + 2(0-0) \right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6<br />$

- Vậy ba điểm$A$,$B$,$C$không thẳng hàng (do diện tích khác$0$).

• Bước 3: Tìm phương trình đường cao từ $A$ đến$BC$:

Gọi phương trình$BC$: biết$B(4;0)$,$C(2;3)$nên vector chỉ phương là $(x; y) = (2-4,3-0) = (-2,3)$.
Phương trình BC dạng:$<br />\frac{x-4}{-2} = \frac{y-0}{3}$hay$3(x-4) + 2y = 0 \implies 3x + 2y - 12 = 0$.

Vì đường cao đi qua$A(0;0)$, vuông góc$BC$nên nhận vector pháp tuyến của$BC$là $(3,2)$. Suy ra phương trình đường cao$d$qua$A$là:$3x + 2y = 0$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ khi giải bài toán vận dụng vào hình học

• Diện tích tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh:
  $S = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
• Kiểm tra ba điểm thẳng hàng: Ba điểm$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)$thẳng hàng nếu:
  $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}$hoặc diện tích tam giác bằng 0.
• Phương trình đường thẳng qua hai điểm$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$:
  $(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$
• Công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0,y_0)$ đến đường thẳng$Ax + By + C = 0$:
  $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
• Công thức tọa độ trung điểm, chia đoạn thẳng, tỷ số đoạn thẳng,…

6. Các biến thể thường gặp và điều chỉnh chiến lược tiếp cận

• Bài toán kiểm tra tính thẳng hàng, song song, vuông góc giữa các điểm, đường thẳng.
• Tìm tọa độ điểm hình học đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp,…)
• Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, hai đường thẳng, diện tích, chu vi, bán kính,…
• Tìm phương trình đường thẳng, đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước.

Tùy vào kiểu bài, bạn hãy điều chỉnh phương pháp: Đối với bài về tọa độ, ưu tiên dùng công thức; bài chứng minh hình học ưu tiên vẽ và dựng hình chính xác.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông$ABCD$có $A(1;2)$,$B(4;2)$. Xác định tọa độ các đỉnh$C$,$D$và tìm phương trình đường thẳng đi qua$D$vuông góc$AB$.

• Bước 1: Tìm vector$\overrightarrow{AB} = (4-1; 2-2) = (3;0)$
• Bước 2: Vì $ABCD$là hình vuông nên$\overrightarrow{AD}$vuông góc$\overrightarrow{AB}$, tọa độ $D$là $A$cộng với hoán vị tọa độ $AB$và đổi dấu một thành phần:
  $\overrightarrow{AD} = (0;3)$nên$D(1,2+3) = (1;5)$.
• Bước 3: Với$B(4,2)$,$C$là $B$cộng$\overrightarrow{AD}$:$C(4,5)$.
• Bước 4: Phương trình$AB$là $y = 2$. Đường thẳng vuông góc (qua$D$) là $x = 1$.

Đáp số:$C(4;5)$;$D(1;5)$; phương trình đường thẳng cần tìm là $x=1$.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Cho tam giác$MNP$có $M(1;2)$,$N(5;2)$,$P(3;6)$. Tính diện tích tam giác$MNP$. Viết phương trình đường cao từ $P$.
• Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm$A(1;1)$,$B(4;5)$,$C(7;9)$. Các điểm này có thẳng hàng không? Vì sao?
• Bài 3: Cho hình chữ nhật$EFGH$có $E(2;3)$,$F(6;3)$,$G(6;7)$. Xác định tọa độ điểm$H$.
• Bài 4: Viết phương trình đường tròn có tâm$O(3;-2)$, bán kính$5$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Cẩn thận khi thay số vào công thức, kiểm tra từng bước tránh nhầm lẫn dấu và thứ tự phép tính.
• Vẽ hình càng chính xác càng giúp dễ dàng quan sát mối quan hệ hình học.
• Ghi nhớ tên và định nghĩa các khái niệm hình học như trung điểm, trọng tâm, đường cao, phân giác, trực tâm, …
• Tìm hiểu và luyện tập phương pháp giải phương trình đường thẳng, đường tròn,… nhanh chóng trên hệ tọa độ.
• Luôn kiểm tra đáp số với đặc điểm hình học của bài toán để phát hiện lỗi.