1. Giới thiệu về bài toán vẽ elip theo định nghĩa hình học

Elip là một đường conic quen thuộc trong hình học lớp 10, xuất hiện nhiều trong các bài toán thực tế và bài tập kiểm tra, thi cử. Việc vẽ elip theo định nghĩa hình học giúp học sinh hiểu sâu bản chất của elip, vận dụng tốt vào các bài toán về tọa độ, phân tích hình học, cũng như tăng khả năng tư duy không gian. Nắm vững cách giải bài toán vẽ elip theo định nghĩa hình học không chỉ giúp bạn tự tin giải quyết các bài tập trong SGK, mà còn làm nền tảng cho các vấn đề nâng cao hơn.

2. Đặc điểm của bài toán vẽ elip theo định nghĩa hình học

Bài toán thường yêu cầu học sinh dựa trên định nghĩa cơ bản về elip:

Elip là tập hợp các điểm$M$trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai điểm cố định gọi là hai tiêu điểm$F_1$,$F_2$không đổi, bằng$2a$($a > c > 0$với$c$là khoảng cách từ tâm$O$tới mỗi tiêu điểm).

Cụ thể, với mỗi điểm$M$trên elip, ta có:$MF_1 + MF_2 = 2a$

Đặc điểm nhận diện:
- Có thể cho tọa độ hoặc vị trí của hai tiêu điểm.
- Cho tổng khoảng cách$MF_1 + MF_2$.
- Yêu cầu dựng hoặc vẽ hình elip, xác định tâm, trục lớn, trục bé, tiêu điểm, v.v.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để giải bài toán vẽ elip theo định nghĩa hình học, bạn nên đi theo các bước chính sau:

• Phân tích kỹ đề bài: xác định rõ vị trí tiêu điểm và tổng khoảng cách$2a$.
• Xác định tâm elip, trục chính, trục phụ dựa vào dữ kiện.
• Tìm hoặc tính các thông số:$a$,$b$,$c$. Trong đó:
  -$a$là nửa trục lớn,$b$là nửa trục bé,$c$là nửa khoảng cách giữa hai tiêu điểm.
• Áp dụng công thức elip, xác định phương trình (nếu bài yêu cầu), hoặc vẽ hình chính xác theo kích thước và tỷ lệ chuẩn.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy cùng đi qua từng bước một với ví dụ cụ thể:

Ví dụ: Dựng elip với 2 tiêu điểm$F_1$,$F_2$cho trước ($F_1F_2 = 6$cm) và tổng$MF_1 + MF_2 = 10$cm.

- Bước 1: Vẽ hai điểm$F_1$,$F_2$cách nhau$6$cm. Trung điểm$O$là tâm elip.
- Bước 2: Tính$a$(nửa trục lớn):

Ta có $2a = 10 \Rightarrow a = 5$cm.

- Bước 3: Tính$c$, là nửa khoảng cách tiêu điểm:$F_1F_2 = 2c \Rightarrow c = 3$cm.

- Bước 4: Tính$b$(nửa trục bé) theo công thức$b^2 = a^2 - c^2$:

$b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow b = 4\text{cm}$

- Bước 5: Vẽ đoạn thẳng qua tâm$O$và vuông góc với$F_1F_2$(trục phụ), lấy hai điểm$B, B'$cách$O$một khoảng$b = 4$cm.

- Bước 6: Dùng thước dây hoặc phương pháp hai đinh – một sợi chỉ để vẽ đường elip qua các điểm xác định.

- Bước 7: Kiểm tra lại tổng$MF_1 + MF_2 = 10$cm với các điểm trên elip.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Định nghĩa elip:$MF_1 + MF_2 = 2a$
• Độ dài trục lớn:$2a$
• Khoảng cách hai tiêu điểm:$2c$
• Quan hệ giữa trục lớn, trục bé và tiêu điểm:$b^2 = a^2 - c^2$
• Phương trình tổng quát elip:
  - Gốc tại O, trục lớn$Ox$:$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Tiêu điểm không nằm trên trục Ox: Xác định phương trình tổng quát, quay hoặc dịch chuyển elip cho phù hợp.
• Tổng khoảng cách thay đổi: Điều chỉnh$a$cho đúng dữ kiện mới.
• Bài toán yêu cầu chứng minh tính chất hình học của elip: Sử dụng định nghĩa để dẫn đến các tính toán khoảng cách, chứng minh$MF_1 + MF_2$là không đổi.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu: Cho hai tiêu điểm$F_1(0; -3)$và $F_2(0; 3)$trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vẽ elip có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là $MF_1 + MF_2 = 10$.

Giải:

- Bước 1: Tính$a$:$2a = 10 \Rightarrow a = 5$.
- Bước 2: Tính$c$:$F_1F_2 = 6 \Rightarrow 2c = 6 \Rightarrow c = 3$.
- Bước 3: Tính$b$:$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow b = 4$.
- Bước 4: Elip có tâm$O(0; 0)$, trục lớn là trục Oy (vì tiêu điểm nằm trên Oy).
- Phương trình elip:
$\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
- Bước 5: Vẽ elip trên hệ trục toạ độ theo đúng tỉ lệ.

8. Bài tập thực hành

1. Cho hai tiêu điểm$F_1(-4; 0)$và $F_2(4; 0)$, tổng$MF_1 + MF_2 = 12$. Hãy vẽ elip và viết phương trình elip.
2. Cho$F_1(2; 0)$,$F_2(-2; 0)$và $2a = 8$. Xác định trục lớn, trục bé, vẽ elip.
3. Cho hình elip có tâm tại$O$, trục lớn nằm trên Ox, tiêu điểm$F_1(0; 3)$,$F_2(0; -3)$và $MF_1 + MF_2 = 14$. Vẽ elip và xác định các thông số.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán vẽ elip theo định nghĩa hình học

• Luôn xác định rõ hai tiêu điểm, tổng khoảng cách trước khi giải.
• Áp dụng công thức$b^2 = a^2 - c^2$ đúng chỗ, xác định chính xác vị trí các trục cho bài vẽ.
• Vẽ sơ đồ phác nhanh giúp tránh nhầm lẫn vị trí các điểm, hỗ trợ kiểm tra kết quả.
• Sử dụng "phương pháp hai đinh – một sợi chỉ" để vẽ elip hình học chính xác trên giấy.
• Kiểm tra lại xem các điểm trên elip đã thỏa mãn$MF_1 + MF_2 = 2a$chưa.
• Cẩn thận xác định trung điểm giữa hai tiêu điểm làm tâm elip (nếu đề không cho trực tiếp).