Chiến lược giải quyết bài toán vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học lớp 10

1. Giới thiệu về bài toán vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học

Bài toán vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học là bài toán phổ biến trong chương trình Hình học lớp 10. Bằng cách hiểu sâu sắc về định nghĩa hình học của hyperbol, học sinh không chỉ củng cố kiến thức lý thuyết mà còn phát triển kỹ năng tư duy không gian và áp dụng các định lý hình học để giải quyết bài toán thực tế và nâng cao. Đây cũng là nền tảng quan trọng giúp học sinh tiếp cận các chuyên đề hình học nâng cao và luyện tập sử dụng phần mềm vẽ hình, như GeoGebra.

2. Đặc điểm của bài toán vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học

- Định nghĩa hình học của hyperbol: Tập hợp các điểm$M$trong mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định$F_1$,$F_2$(gọi là hai tiêu điểm) luôn không đổi (lấy giá trị tuyệt đối):

Hyperbol là quỹ tích các điểm$M$sao cho$|MF_1 - MF_2| = 2a$(với$2a < F_1F_2$và $a > 0$)

- Đối tượng hình học gồm: vị trí hai tiêu điểm$F_1$,$F_2$; dải giá trị không đổi$2a$; trung điểm và trục liên kết hai tiêu điểm.
- Biểu thức giải tích: bạn cũng có thể bắt gặp phương trình hyperbol trong hệ tọa độ Oxy.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Bước 1: Đọc kỹ đề, nhận diện nghĩa hình học của hyperbol.
2. Bước 2: Định vị hai tiêu điểm$F_1$,$F_2$và xác định giá trị không đổi$2a$.
3. Bước 3: Vẽ hình phác với các đối tượng cần thiết; xác định trung điểm$O$của$F_1F_2$và vẽ trục liên kết.
4. Bước 4: Dùng định nghĩa quỹ tích để xác định các điểm đặc biệt thuộc hyperbol (dựa vào các phép đo độ dài).
5. Bước 5: Vẽ toàn bộ đường hyperbol dựa trên các điểm đặc trưng, đối xứng và hoàn thiện hình vẽ.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử đề bài:

"Cho hai điểm cố định$F_1 (-3, 0)$và $F_2 (3, 0)$. Vẽ hyperbol có các điểm$M(x, y)$thỏa mãn$|MF_1 - MF_2| = 4$."

Bước 1: Xác định tiêu điểm, giá trị không đổi

- Hai tiêu điểm:$F_1(-3,0)$,$F_2(3,0)$
-$2a=4 ightarrow a=2$(chú ý $2a < F_1F_2 = 6$)

Bước 2: Tìm trung điểm$O$, xác định trục hoành hyperbol

- Trung điểm$O(0,0)$là tâm của hyperbol
- Trục chính trùng với trục$Ox$

Bước 3: Viết phương trình hyperbol (nếu cần)

- Theo định nghĩa: $|MF_1 - MF_2| = 4$
- Với $M(x, y)$:
$|\sqrt{(x+3)^2 + y^2} - \sqrt{(x-3)^2 + y^2}| = 4$

- Bình phương hai vế, giải thích sẽ có hai nhánh hyperbol đối xứng qua tâm$O$.

Bước 4: Xác định các điểm đặc biệt trên hyperbol

- Lấy $M$thuộc trục$Ox$: $y = 0$. Khi đó:
$|\sqrt{(x+3)^2} - \sqrt{(x-3)^2}| = 4$
Với $x > 0$:
$\sqrt{(x+3)^2} - \sqrt{(x-3)^2} = 4$
$|x+3| - |x-3| = 4$
Nếu $x>3$, thì $x+3 - (x-3) = 6$không phù hợp (vì $|MF_1-MF_2|=4$)
Nếu $x < -3$, thì $-x-3 - (-x+3) = -6$cũng không phù hợp
Thử $0 < x < 3$:
$x+3 - (3-x) = 4 \rightarrow x+3-3+x=4 \rightarrow 2x=4 \rightarrow x=2$
Tương tự cho $x < 0$
$-(x+3) + (x-3) = 4 \rightarrow -x-3 + x-3 = 4 \rightarrow -6=4$(không phù hợp)
=> Vậy trên trục hoành có hai điểm$A(2,0)$, $A'(-2,0)$ nằm trên hyperbol.

- Lấy các điểm đối xứng, dùng khoảng cách tới hai tiêu điểm để xác định thêm điểm thuộc hyperbol (có thể dùng bảng giá trị với các giá trị $x$khác nhau thuận tiện nhất cho vẽ hình bằng tay).

Bước 5: Vẽ hình hyperbol hoàn chỉnh

- Trên mặt phẳng, chấm các điểm đã xác định, vẽ đường đi qua các điểm đối xứng qua tâm$O$.
- Chú ý đặc điểm: hyperbol có hai nhánh, tiệm cận qua$O$, các trục đối xứng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Định nghĩa quỹ tích:$|MF_1 - MF_2| = 2a$
- Khoảng cách hai tiêu điểm:$F_1F_2=2c$với$c>a$
- Phương trình hyperbol chuẩn tâm$O(0,0)$, trục Ox:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
Với$b^2=c^2-a^2$
- Tiệm cận hyperbol:$y= \pm \frac{b}{a}x$

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Đổi vị trí tiêu điểm$F_1$,$F_2$(trục khác Ox): xác định lại tâm, trục chính, vẽ song song hoặc nghiêng.
- Thay đổi giá trị $2a$(lưu ý điều kiện$2a < F_1F_2$).
- Tìm điểm đối xứng qua các trục, xác định tiêu cự, tâm hyperbol nếu không cho sẵn gốc tọa độ.
- Dùng phần mềm GeoGebra để kiểm tra kết quả hoặc hỗ trợ vẽ hình phức tạp (xem thêm các bài "Vẽ hyperbol bằng phần mềm GeoGebra").

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài toán: Cho hai điểm$F_1(-5, 0)$,$F_2(5, 0)$và $|MF_1 - MF_2| = 6$. Vẽ hình hyperbol theo định nghĩa hình học và xác định phương trình của hyperbol đó.

1. Bước 1: Xác định tiêu điểm:$F_1(-5,0)$,$F_2(5,0)$, giá trị không đổi$2a=6$=>$a=3$.
   
2. Bước 2: Trung điểm$O(0, 0)$,$F_1F_2=10$=>$c=5$.
   
3. Bước 3: Phương trình hyperbol hình học:
   $|\sqrt{(x+5)^2 + y^2} - \sqrt{(x-5)^2 + y^2}| = 6$
   
4. Bước 4: Phương trình tọa độ chuẩn:
   $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
   Vì $b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$.
   
5. Bước 5: Chấm các điểm trên trục hoành (ví dụ $x = 8 3, -3$cho$y=0$) và một số điểm đặc trưng khác dựa trên định nghĩa để vẽ chính xác hai nhánh hyperbol.
   
6. Bước 6: Nối các điểm, chú ý tới tính đối xứng và tiệm cận.
   

Đáp số:
- Phương trình hyperbol:$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
- Tiêu điểm:$F_1, F_2$như đề bài, tiệm cận:$y= \pm \frac{4}{3}x$.

8. Bài tập thực hành cho học sinh tự làm

1. Cho hai điểm$F_1(-4, 0)$,$F_2(4, 0)$và $|MF_1 - MF_2| = 4$. Vẽ hyperbol và xác định phương trình của nó.
   
2. Hai điểm$F_1(0, -6)$,$F_2(0, 6)$,$|MF_1 - MF_2| = 8$. Vẽ hyperbol, xác định phương trình và các tiệm cận.
   
3. Cho$F_1(2, 2)$,$F_2(8, 2)$,$|MF_1 - MF_2| = 3$. Vẽ và viết phương trình hyperbol.
   

9. Mẹo và lưu ý giúp tránh sai lầm thường gặp

• Luôn kiểm tra điều kiện$2a < F_1F_2$trước khi vẽ hyperbol để đảm bảo bài toán hợp lý.
• Ghi nhớ định nghĩa hình học là cơ sở vững chắc cho việc giải đáp bài toán và kiểm tra các điểm đặc biệt trên đường hyperbol.
• Tận dụng tính đối xứng của hyperbol quanh trục và tâm để vẽ hình nhanh chóng, chính xác.
• Sử dụng phần mềm vẽ hình khi có thể để kiểm tra kết quả hoặc luyện tập trực quan.
• Lưu ý khi chấm các điểm để vẽ, nên chọn các giá trị $x$dễ tính, hoặc sử dụng bảng giá trị.