Blog

Lớp 10

Chiến lược giải quyết bài toán Vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học (Toán 10)

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán 'Vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học' yêu cầu học sinh vận dụng hiểu biết về quan hệ hình học, đi từ định nghĩa đến việc xác định vị trí và vẽ chính xác đường hyperbol trên mặt phẳng. Dạng bài này xuất hiện khá thường xuyên trong các bài kiểm tra chương, thi học kỳ môn Hình học 10, đồng thời là nền tảng quan trọng để nắm vững các loại đường conic. Nắm chắc chiến lược giải quyết bài toán này sẽ giúp học sinh tự tin hơn, đặc biệt khi ôn tập và luyện thi. Hiện tại bạn có thể luyện tập với hơn 42.226+ bài tập miễn phí theo các dạng đa dạng.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Dạng bài này thường sử dụng các từ khóa: "vẽ hyperbol", "theo định nghĩa hình học", "tập hợp các điểm M" sao cho "hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm không đổi". Đặc trưng là đề bài yêu cầu mô tả hoặc vẽ hình dựa trên tính chất quan hệ khoảng cách tới hai điểm cố định (tiêu điểm). Bạn cần phân biệt với bài tập vẽ elip (tổng khoảng cách) và vẽ parabol (khoảng cách đến điểm và đường).

2.2 Kiến thức cần thiết

  • Định nghĩa hyperbol: Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng sao cho |MF_1 - MF_2| = 2a, vớiF1,F2F_1, F_2là hai tiêu điểm,a>0a > 0và 2a<F1F22a < F_1F_2
  • Công thức tọa độ hyperbol:x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, trong đó b2=c2−a2b^2 = c^2 - a^2,cclà khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm.
  • Kỹ năng dựng hình học cơ bản (dùng thước, compa, phần mềm vẽ như GeoGebra).
  • Liên hệ giữa các đại lượng: tiêu điểm, tiêu cự, đỉnh, trục thực, trục ảo.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • Đọc kỹ đề, xác định ngay đâu là hai tiêu điểmF1F_1,F2F_2, giá trị cố định2a2a.
  • Chỉ ra thông tin cho trước (tọa độ, độ dài), xác định ẩn số cần tìm (vị trí, hình vẽ, công thức mô tả...).
  • Gạch chân từ khóa quan trọng: "hiệu độ dài", "tiêu điểm", "hằng số", "tập hợp các điểm".

    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • Chọn phương pháp: Dựng bằng hình học thuần túy hoặc chuyển sang tọa độ để thuận tiện.
  • Sắp xếp các bước: xác định tâm, trục chính, tiêu điểm, đỉnh, trục phụ --> dựng trục --> xác định các điểm đặc biệt --> vẽ nháp, kiểm tra kích thước.
  • Ước lượng nhanh hình dạng để kiểm chứng kết quả sau khi hoàn thành.

    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • Áp dụng đúng định nghĩa và công thức toán học.
  • Tính toán cẩn thận các giá trị (tọa độ, khoảng cách).
  • Luôn soát lại hình vẽ theo định nghĩa hyperbol.

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

    Tiến hành theo trình tự hình học: xác định tiêu điểm, vẽ hình bằng thước compa, kiểm tra hiệu khoảng cách tại vài điểm ngẫu nhiên. Phương pháp này giúp hình dung rõ bản chất hình học của hyperbol, thích hợp khi mới làm quen.

    4.2 Phương pháp nâng cao

    Chuyển bài toán về hệ trục tọa độ, thiết lập phương trình hyperbol rồi sử dụng phần mềm (GeoGebra, máy tính cầm tay) hoặc vẽ nhanh bằng các điểm mấu chốt. Mẹo nâng cao: thuộc lòng công thức b, cách xác định tọa độ tiêu điểm, và kiểm tra bằng việc thay tọa độ điểm đặc biệt vào phương trình.

    5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Đề: Cho hai điểmF1(−3;0)F_1(-3;0),F2(3;0)F_2(3;0), vẽ tập hợp các điểm M sao cho∣MF1−MF2∣=4|MF_1 - MF_2| = 4.

  • Xác định hai tiêu điểmF1(−3;0)F_1(-3;0),F2(3;0)F_2(3;0).
  • Theo định nghĩa,2a=4  ⟹  a=22a = 4 \implies a = 2. Khoảng cách hai tiêu điểm là F1F2=6F_1F_2 = 6nênc=3c = 3.
  • Tâm O(0;0), b2=c2−a2=9−4=5  ⟹  b=5b^2 = c^2 - a^2 = 9 - 4 = 5 \implies b = \sqrt{5}.
  • Phương trình hyperbol:x24−y25=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
  • Vẽ hình với đỉnh tại(2;0),(−2;0)(2;0), (-2;0), trục thực trùng trục Ox.

    • Giải thích từng bước: dùng định nghĩa để tính toán các thông số, dựng phương trình, giúp vẽ hình chính xác.

    5.2 Bài tập nâng cao

    Cho hai điểmF1(0;4)F_1(0;4),F2(0;−4)F_2(0;-4), vẽ tập hợp các điểm M sao cho∣MF1−MF2∣=6|MF_1 - MF_2| = 6. Hãy viết phương trình và vẽ hình.

  • Khoảng cách tiêu điểmF1F2=8  ⟹  c=4F_1F_2 = 8 \implies c = 4,2a=6  ⟹  a=32a = 6 \implies a = 3.
  • Tâm O(0;0), b2=c2−a2=16−9=7  ⟹  b=7b^2 = c^2 - a^2 = 16 - 9 = 7 \implies b = \sqrt{7}.
  • Phương trình hyperbol:y29−x27=1\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1(trục thực trùng trục Oy).
  • Ưu điểm: chuyển ngay sang phương trình giúp kiểm tra chính xác, nhanh; nhược điểm: cần hiểu sâu về tọa độ, hình học.

    • 6. Các biến thể thường gặp

  • Hai tiêu điểm không nằm trên trục Ox, Oy.
  • Bài toán cho tổng khoảng cách (elip) hoặc khoảng cách so với một đường (parabol).
  • Lời khuyên: Luôn xác định kỹ tiêu điểm, kiểm tra điều kiện2a<F1F22a < F_1F_2, điều chỉnh công thức phương trình tương ứng.

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • Nhầm định nghĩa hyperbol với elip, parabol.
  • Chưa kiểm tra điều kiện2a<F1F22a < F_1F_2gây ra lỗi hình học.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • Tính saicc,aa,bb; nhầm dấu cộng trừ trong công thức.
  • Giải pháp: thay thử các điểm đặc biệt vào phương trình kiểm tra lại; đối chiếu kích thước các trục trên hình vẽ.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

  • Truy cập kho 42.226+ bài tập cách giải Vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học miễn phí, hỗ trợ giải thích, hướng dẫn từng bước.
  • Không cần đăng ký, luyện tập linh hoạt 24/7.
  • Hệ thống lưu tiến độ, tự động thống kê điểm mạnh và vùng cần cải thiện.

    • 9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Tuần 1: Học, nhắc lại định nghĩa và kiến thức căn bản; thực hành với 5-10 bài mẫu.
  • Tuần 2: Tăng độ khó bài tập, làm thêm các dạng biến thể.
  • Tuần 3: Luyện tập tổng hợp, ghi chú các lỗi sai cá nhân.
  • Cuối mỗi tuần: Tự đánh giá tiến bộ, đối chiếu kết quả với lời giải chuẩn, nhờ giáo viên/công nghệ hỗ trợ bổ sung kiến thức còn yếu.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".