Blog

Chiến lược giải quyết bài toán: Vẽ parabol theo định nghĩa hình học cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán vẽ parabol theo định nghĩa hình học

Bài toán vẽ parabol theo định nghĩa hình học là dạng bài giúp học sinh hiểu bản chất hình học của đồ thị parabol – loại đường conic thường gặp nhất trong chương trình Toán lớp 10. Việc nắm vững cách giải bài toán này không chỉ giúp học sinh ghi nhớ sâu sắc định nghĩa parabol mà còn thành thạo kỹ năng vẽ hình, từ đó ứng dụng hiệu quả trong các bài tập về hàm số bậc hai, giải phương trình, bất phương trình và các vấn đề thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Parabol có thể được định nghĩa hình học như sau: Parabol là tập hợp các điểmMMtrong mặt phẳng cách đều một điểm cố định gọi là tiêu điểmFFvà một đường thẳng cố định gọi là đường chuẩnriangleriangle. Bài toán yêu cầu xác định và vẽ parabol dựa trên định nghĩa này. Thường đề bài sẽ cho biết vị trí của tiêu điểmFFvà đường chuẩnriangleriangle, yêu cầu dựng parabol bằng các bước hình học hoặc sử dụng phần mềm như GeoGebra.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

  • Nhận diện các yếu tố cố định: Tiêu điểmFF, đường chuẩnriangleriangle.
  • Tìm điểm đối xứngFF'của tiêu điểmFFqua đường chuẩnriangleriangle(nếu cần).
  • Áp dụng định nghĩa parabol để xác định các điểm M thỏa mãnMF=d(M,)MF = d(M, \triangle).
  • Dựng hình bằng phương pháp hình học thuần túy hoặc sử dụng phần mềm.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho tiêu điểmF(2,2)F(2,2)và đường chuẩn:x=0\triangle: x=0. Vẽ parabol theo định nghĩa hình học.

  • Bước 1: Xác định tiêu điểmF(2,2)F(2,2)và vẽ đường chuẩnx=0x=0(trục tung).
  • Bước 2: Lấy một điểm M(x,y)M(x, y)bất kỳ trên mặt phẳng. TínhMF=(x2)2+(y2)2MF = \sqrt{(x-2)^2 + (y-2)^2}.
  • Bước 3: Tính khoảng cách từ MM đến đường chuẩn\triangle:d(M,)=xd(M, \triangle) = |x|.
  • Bước 4: Theo định nghĩa parabol, ta có MF=d(M,)(x2)2+(y2)2=xMF = d(M, \triangle) \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2 + (y-2)^2} = |x|.
  • Bước 5: Bình phương hai vế và rút gọn:
    (x2)2+(y2)2=x2(x-2)^2 + (y-2)^2 = x^2
    (x2)2+(y2)2x2=0(x-2)^2 + (y-2)^2 - x^2 = 0
    (x24x+4)+(y24y+4)x2=0(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) - x^2 = 0
    (y24y+84x)=0(y^2 - 4y + 8 - 4x) = 0
    y24y4x+8=0y^2 - 4y - 4x + 8 = 0– Đây là phương trình parabol cần vẽ.
  • Bước 6: Xác định thêm một số điểm đặc biệt trên parabol, ví dụ: đỉnh, trục đối xứng, tiêu cự.
  • Bước 7: Vẽ parabol trên mặt phẳng (giấy hoặc phần mềm GeoGebra).

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Khoảng cách từ điểm M(x,y)M(x, y) đến điểmF(x0,y0)F(x_0, y_0): d(M,F)=(xx0)2+(yy0)2d(M, F) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}
  • Khoảng cách từ điểm M(x,y)M(x, y) đến đường thẳngax+by+c=0ax + by + c = 0:
    d(M,)=ax+by+ca2+b2d(M, \triangle) = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
  • Phương trình parabol tổng quát theo định nghĩa hình học:
    Đề bài cho F(x0,y0)F(x_0, y_0), đường chuẩn ax+by+c=0ax + by + c = 0
    Parabol là tập hợp các điểm M(x,y)M(x, y) thỏa mãn
    (xx0)2+(yy0)2=ax+by+ca2+b2\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
  • Bình phương và rút gọn để tìm phương trình parabol cụ thể.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Nếu đường chuẩn có dạng tổng quátax+by+c=0ax + by + c = 0, cần tính khoảng cách từ MM đến đường chuẩn rồi mới lập được phương trình parabol. Nếu dùng phần mềm GeoGebra, học sinh có thể vẽ tiêu điểm, đường chuẩn và dùng công cụ "quỹ tích" để dựng parabol dựa trên điều kiệnMF=d(M,)MF = d(M, \triangle).

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho tiêu điểmF(0,2)F(0, 2)và đường chuẩny=0y = 0. Vẽ parabol theo định nghĩa hình học.

  • Bước 1: Vẽ tiêu điểmF(0,2)F(0,2)và đường chuẩny=0y = 0(trục hoành).
  • Bước 2: Gọi M(x,y)M(x, y)trên mặt phẳng.MF=(x0)2+(y2)2=x2+(y2)2MF = \sqrt{(x-0)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}.
  • Bước 3: Khoảng cách từ MM đếny=0y = 0y|y|.
  • Bước 4: Theo định nghĩa,MF=yx2+(y2)2=y2MF = |y| \Rightarrow x^2 + (y-2)^2 = y^2.
  • Bước 5: Rút gọn:x2+y24y+4=y2x24y+4=0.x^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2 \Rightarrow x^2 - 4y + 4 = 0.
  • Bước 6: Đây là phương trình parabol cần vẽ.

Học sinh nên xác định thêm một số điểm điển hình thuộc parabol để hỗ trợ việc vẽ chính xác (chọn một số giá trị xxphù hợp rồi thay vào để tìmyytương ứng).

8. Bài tập thực hành

  • Bài 1: Cho tiêu điểmF(1,0)F(1, 0)và đường chuẩnx=1x = -1. Hãy
    a. Viết phương trình parabol theo định nghĩa hình học
    b. Xác định đỉnh, trục đối xứng, vẽ parabol.
  • Bài 2: Dùng phần mềm GeoGebra để vẽ parabol có tiêu điểmF(2,1)F(2, -1)và đường chuẩny=3y = 3.
  • Bài 3: Chứng minh: Nếu tiêu điểmF(a,b)F(a, b)và đường chuẩny=dy = dthì phương trình parabol là (xa)2+(yb)2=(yd)2(x - a)^2 + (y - b)^2 = (y - d)^2. Rút gọn về dạngx2+(bd)[b+d2y]=2axx^2 + (b - d)[b + d - 2y] = 2a x.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm thường gặp

  • Cẩn thận khi tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, chú ý đúng công thức.
  • Đừng quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính khoảng cách đến đường chuẩn.
  • Kiểm tra lại kết quả rút gọn phương trình, đặc biệt khi bình phương và chuyển vế.
  • Khi vẽ, xác định các yếu tố quan trọng: đỉnh, trục đối xứng, tiêu cự, hướng mở của parabol.
  • Nên sử dụng phần mềm hỗ trợ vẽ hình để hình dung rõ hơn.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".