1. Giới thiệu về bài toán vẽ parabol theo phương trình chính tắc

Bài toán “vẽ parabol theo phương trình chính tắc” là một nội dung trọng tâm trong chương 'Hàm số bậc hai' của Toán lớp 10. Việc nắm vững cách giải bài toán vẽ parabol không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về hình dạng và đặc điểm của đồ thị hàm số bậc hai mà còn là nền tảng để học tốt các chương trình đại số, giải tích sau này, đồng thời ứng dụng trong việc giải các bài toán thực tế, thi kiểm tra và các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

Tại sao bài toán này quan trọng?Giúp hình dung trực quan hàm bậc hai.Ứng dụng nhiều trong các bài toán xác định cực trị, tìm miền xác định của hàm số, tương giao đồ thị.Là nền tảng cho các dạng bài kiểm tra, đề thi lớn.2. Đặc điểm của bài toán vẽ parabol theo phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc (chuẩn tắc) của parabol thường gặp ở lớp 10 là:

$$$$

y = a(x - x_0)^2 + y_0

$$$$

Trong đó:

$a$quyết định độ mở (hướng và độ "bẹt") của parabol;$(x_0, y_0)$là tọa độ đỉnh của parabol.

Các đặc điểm cần nhớ:

Trục đối xứng:$x = x_0$Mở lên nếu$a > 0$, mở xuống nếu$a < 0$Giao điểm với trục Oy: Thay$x = 0$vào phương trình3. Chiến lược tổng thể giải bài toán này

Để giải đúng và vẽ đẹp một parabol theo phương trình chính tắc, các bước quan trọng bao gồm:

Nhận dạng đúng dạng phương trình.Xác định toạ độ đỉnh, hệ số $a$và hướng mở của parabol.Xác định trục đối xứng.Tìm thêm các điểm đặc biệt: giao với trục Ox, Oy, hoặc chọn thêm điểm đối xứng.Vẽ sơ đồ vị trí các điểm đặc biệt, phác parabol qua các điểm này.4. Các bước giải quyết chi tiết – Ví dụ minh họaVí dụ: Vẽ đồ thị hàm số $y = 2(x-1)^2 + 3$Nhận dạng phương trình:

Dạng chính tắc:$y = 2(x-1)^2 + 3$, so với$y = a(x - x_0)^2 + y_0$ta có $a=2$,$x_0=1$,$y_0=3$.

Xác định đỉnh và trục đối xứng:Đỉnh:$(1,3)$; trục đối xứng:$x=1$.$a = 2 > 0$nên parabol mở lên, "bẹt" hơn parabol$y = (x-1)^2 + 3$.Tìm thêm một số điểm đặc biệt:+ Giao điểm với trục$Oy$($x = 0$):$y = 2(0-1)^2 + 3 = 2 \times 1 + 3 = 5$; Điểm$(0,5)$+ Giao với trục$Ox$($y=0$):$2(x-1)^2 + 3 = 0 ightarrow (x-1)^2 = -\frac{3}{2}$(không có điểm giao thực, parabol không cắt trục Ox)+ Lấy thêm điểm đối xứng: ví dụ $x = 2$,$y = 2(2-1)^2+3 = 2 \times 1 + 3 = 5$; điểm$(2,5)$.+ Lấy thêm điểm$x=0.5$:$y = 2(0.5-1)^2 + 3 = 2 imes (0.25) + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$; điểm$(0.5; 3.5)$.+ Điểm$x=1.5$:$y = 2(1.5-1)^2 + 3 = 2 imes (0.25) + 3 = 3.5$; điểm$(1.5; 3.5)$.Vẽ đồ thị:

Đánh dấu các điểm$(1,3)$,$(0,5)$,$(2,5)$,$(0.5,3.5)$,$(1.5,3.5)$. Vẽ parabol mở lên, trục đối xứng là $x=1$, sao cho đi qua các điểm vừa tìm.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớCông thức phương trình chính tắc:$y=a(x-x_0)^2 + y_0$Đỉnh:$(x_0,y_0)$Trục đối xứng:$x=x_0$Độ mở:$a>0$mở lên,$a<0$mở xuống,$|a|$càng lớn parabol càng hẹpGiao trục$Oy$: Thay$x=0$vào phương trìnhTìm giao trục$Ox$: Giải$y=0$6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Các bài toán thường gặp trong kiểm tra/thi:

Vẽ khi đã ở dạng chính tắc (đã chuyển đổi).Yêu cầu chuyển đổi từ dạng$y = ax^2 + bx + c$về dạng chính tắc.Vẽ khi có thêm điều kiện tìm giao điểm với đường thẳng khác, hay xác định diện tích miền giới hạn bởi parabol.

Với mỗi biến thể, bạn cần:

Đưa về dạng chính tắc (nếu chưa sẵn).Làm như các bước tổng quát ở trên.7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Vẽ đồ thị hàm số $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 + 1$.

Nhận dạng phương trình:

$a = -\frac{1}{2}$,$x_0 = -2$,$y_0 = 1$. Parabol mở xuống (do$a<0$), "bẹt" hơn parabol$y = -(x+2)^2 + 1$.

Đỉnh:$(-2, 1)$, trục đối xứng$x = -2$.Tìm giao trục Oy:

Thay$x=0$:$y = -\frac{1}{2}(0+2)^2 + 1 = -\frac{1}{2} \times 4 + 1 = -2 + 1 = -1$. Vậy giao trục Oy tại$(0, -1)$.

Tìm thêm giao Ox:

Giải $y = 0$:
$-\frac{1}{2}(x+2)^2 + 1 = 0 <br /> \Rightarrow (x+2)^2 = 2 \to x+2 = \pm \sqrt{2} \to x = -2 \pm \sqrt{2}$
Giao Ox tại $(-2+\sqrt{2},0)$và $(-2-\sqrt{2},0)$.

Chọn thêm điểm đối xứng quanh trục$x=-2$như $x=-1$hoặc$x=-3$:$x = -1$:$y = -\frac{1}{2}(1)^2 + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = 0.5$$x = -3$:$y = -\frac{1}{2}((-3) + 2)^2 + 1 = -\frac{1}{2}(-1)^2 + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = 0.5$Vẽ đồ thị theo các điểm tìm được.8. Bài tập thực hành cho học sinh

1. Vẽ đồ thị hàm số $y = 3(x-2)^2 - 4$
2. Vẽ đồ thị hàm số $y = -2(x+1)^2 + 5$
3. Viết phương trình chính tắc của parabol biết đỉnh là $(3, -4)$, đi qua điểm$(5,4)$và vẽ parabol này.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biếnPhải xác định đúng đỉnh (chú ý dấu$x_0$khi ở dạng$(x-x_0)$)Đừng quên kiểm tra hướng mở (dấu của$a$)Làm nháp hoặc vẽ trục đối xứng để tránh bị lệch.Nên tính thêm vài điểm đối xứng để vẽ chính xác hơn.Nếu phải chuyển đổi từ $y = ax^2 + bx + c$về dạng chính tắc, hãy nhớ công thức hoàn bình phương.Có thể sử dụng phần mềm như GeoGebra để kiểm tra lại đồ thị khi mới học.

Kết luận

Nắm vững chiến lược và kỹ thuật vẽ parabol theo phương trình chính tắc sẽ giúp học sinh lớp 10 tự tin chiếm trọn điểm với dạng bài này, đồng thời phát triển hiểu biết sâu rộng về đồ thị hàm số. Đừng quên luyện tập thường xuyên và áp dụng các lưu ý trên để tránh những sai sót không đáng có!