1. Giới thiệu về Bài toán Xác định không gian mẫu và vai trò của nó

Trong chương trình Toán lớp 10, "không gian mẫu" là khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong chuyên đề Xác suất Thống kê. Xác định đúng không gian mẫu là bước đầu tiên và then chốt để giải các bài toán xác suất – từ cơ bản đến nâng cao.

Không gian mẫu ($ext{S}$hoặc$ext{Ω}$) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên. Nếu bạn nói về xác suất, bước đầu tiên luôn là xác định chính xác tất cả các khả năng có thể – nếu sai bước này, toàn bộ lời giải sẽ bị ảnh hưởng.

2. Đặc điểm nhận diện bài toán về xác định không gian mẫu

• Đề yêu cầu liệt kê, tính số kết quả có thể xảy ra hoặc mô tả toàn bộ các khả năng trong một phép thử.
• Các phép thử có thể là gieo xúc xắc, tung đồng xu, rút thăm, chia nhóm, chọn phần tử từ tập hợp…
• Kết quả có thể là số, ký hiệu, nhóm các phần tử, hoặc các hoán vị/phép tổ hợp sắp xếp…

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán xác định không gian mẫu

• Đọc kỹ đề, xác định rõ phép thử ngẫu nhiên.
• Xác định rõ mỗi kết quả một cách duy nhất: mỗi thành viên trong không gian mẫu phải phân biệt rõ ràng với các thành viên khác.
• Xem xét phép thử là độc lập hay phụ thuộc; thứ tự chọn có quan trọng không.
• Lựa chọn phương pháp: liệt kê, vẽ sơ đồ cây, sử dụng tổ hợp, chỉnh hợp, hoặc các quy tắc đếm cơ bản để xác định số phần tử không gian mẫu.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định phép thử và kết quả đơn giản nhất mỗi lần thực hiện.

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Mỗi kết quả là một số từ 1 đến 6.

Bước 2: Liệt kê/biểu diễn không gian mẫu (nếu cần, có thể vẽ sơ đồ cây với các bài toán nhiều bước).

Ví dụ: Tung hai đồng xu, các kết quả có thể là: (S, S), (S, N), (N, S), (N, N) với S = sấp, N = ngửa.

Bước 3: Xác định số phần tử của không gian mẫu bằng quy tắc đếm, tổ hợp, chỉnh hợp…

Ví dụ: Rút ngẫu nhiên 2 lá từ bộ bài 52 lá, không phân biệt thứ tự, không hoàn lại. Khi đó, không gian mẫu có số phần tử là:$C_{52}^2 = 1326$.

Bước 4: Kiểm tra lại không gian mẫu, đảm bảo các kết quả đều hợp lệ và không trùng lặp.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Quy tắc nhân: Nếu một công việc gồm k giai đoạn, giai đoạn i có $n_i$cách thực hiện thì tổng số là $n_1 \times n_2 \times \cdot s \times n_k$.
• Chỉnh hợp không lặp:$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot s (n-k+1)$
• Tổ hợp không lặp:$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$
• Quy tắc cộng: Nếu một công việc có thể được thực hiện theo cách A hoặc cách B (không trùng lặp), tổng số cách = số cách A + số cách B.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• Thứ tự có quan trọng hay không? Sử dụng chỉnh hợp khi thứ tự quan trọng, tổ hợp khi không.
• Có lặp lại hay không? Nếu các kết quả được hoàn lại (lặp lại), sử dụng phép đếm có lặp.
• Chọn/xếp từng nhóm (chia nhóm) – dùng các công thức chia tập hợp hoặc tổ hợp chỉnh hợp lồng nhau.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Gieo ba con xúc xắc cùng lúc. Xác định không gian mẫu.

Giải từng bước:

• Mỗi con xúc xắc có 6 khả năng. Ba con thì số trường hợp là $6 \times 6 \times 6 = 216$.
• Không gian mẫu là tập hợp các bộ có dạng$(a, b, c)$với$a, b, c \in \{1;2;3;4;5;6\}$.

Đáp số: Không gian mẫu có 216 phần tử, là tập hợp các bộ ba số $(a, b, c)$với$a, b, c$là số nguyên từ 1 đến 6.

8. Bài tập thực hành

• a) Rút 1 lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác định không gian mẫu.
• b) Tung 2 đồng xu liên tiếp. Xác định không gian mẫu.
• c) Có 5 bạn xếp thành một hàng dọc. Xác định không gian mẫu.
• d) Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 10 học sinh để nhận thưởng. Xác định không gian mẫu.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Đọc kỹ đề bài để hiểu rõ phép thử và các điều kiện/giới hạn (ví dụ: có lặp không, thứ tự có quan trọng không).
• Đảm bảo liệt kê hoặc tính số trường hợp đầy đủ, tránh thiếu hoặc lặp.
• Nếu bài toán phức tạp, hãy chia nhỏ bài toán thành các bước đơn giản.
• Dùng sơ đồ cây hoặc bảng để soát lại khi số trường hợp không quá lớn.
• Nhớ sử dụng đúng công thức đếm (chỉnh hợp, tổ hợp, quy tắc cộng/nhân).

Tổng kết

Việc xác định đúng không gian mẫu là điều kiện tiên quyết để tiến tới các bước giải tiếp theo của bài toán xác suất. Hiểu rõ phương pháp và nắm chắc các kỹ thuật đếm sẽ giúp các em luôn tự tin với phần đầu của mọi bài toán xác suất. Hãy rèn luyện thật nhiều, bắt đầu từ những ví dụ cơ bản cho đến các tình huống phức tạp hơn!