Chiến lược giải quyết bài toán xác định tiếp tuyến với đường tròn lớp 10 (có ví dụ giải chi tiết)

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán Xác định tiếp tuyến với đường tròn là một dạng cơ bản và rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Đề bài thường yêu cầu xác định phương trình hoặc tọa độ các tiếp tuyến tại một điểm, qua một điểm, hoặc tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Dạng này xuất hiện với tần suất cao trong các đề kiểm tra, đề thi, đặc biệt là trong các chương ôn tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Thành thạo cách giải bài toán xác định tiếp tuyến với đường tròn không chỉ giúp học sinh nâng cao điểm số, mà còn hỗ trợ hiểu sâu các chủ đề liên quan đến phương trình đường thẳng, khoảng cách và hình học tọa độ.

Bạn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với hơn 42.226+ bài tập cách giải xác định tiếp tuyến với đường tròn miễn phí tại cuối bài viết!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Đề bài thường xuất hiện các từ khóa: “tiếp tuyến”, “đường tiếp xúc”, “phương trình tiếp tuyến”, “qua điểm”, “tại điểm”, “tiếp xúc với đường tròn”.
• Các dữ kiện liên quan đến tâm đường tròn$O(a; b)$, bán kính$R$, tọa độ điểm tiếp xúc hoặc điểm cho trước.
• Phân biệt với các bài toán liên quan đến tìm cắt tuyến hoặc đường cắt nhau – tiếp tuyến luôn chỉ tiếp xúc tại một điểm trên đường tròn.

2.2 Kiến thức cần thiết

• Công thức đường tròn:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
• Công thức đường thẳng:$Ax + By + C = 0$
• Điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến: Khoảng cách từ tâm $O(a; b)$ đến đường thẳng bằng bán kính:$d(O, ext{đường thẳng}) = |Aa + Bb + C| / \sqrt{A^2 + B^2} = R$
• Các kỹ năng giải hệ phương trình, biến đổi đại số, tìm tham số.
• Kiến thức liên quan đến trạng thái tiếp xúc, tiếp tuyến chung, ứng dụng trong hình học không gian.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc kỹ các dữ kiện: Toạ độ tâm, bán kính, điểm cho trước, hoặc điểm tiếp xúc.
• Xác định rõ yêu cầu: tìm phương trình tiếp tuyến, số tiếp tuyến, hoặc tọa độ tiếp điểm.
• Lưu ý các điều kiện đặc biệt hoặc hạn chế trong đề bài.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Xác định rõ cần dùng công thức tổng quát, hay biến đổi tham số.
• Chọn phương pháp phù hợp: tiếp tuyến tại điểm, tiếp tuyến qua điểm ngoài, tiếp tuyến song song đường thẳng đã biết.
• Dự đoán, kiểm tra số nghiệm hợp lý qua hình học trực quan.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Áp dụng chính xác công thức, định lý, trình bày từng bước rõ ràng.
• Cẩn thận kiểm tra tính đúng đắn của kết quả (tồn tại hình học, kiểm tra lại bằng cách thay vào phương trình).

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

• Sử dụng điều kiện tiếp xúc: Giả sử đường thẳng có dạng$Ax + By + C = 0$, áp dụng điều kiện$d(O, ext{đường thẳng}) = R$ để thiết lập phương trình.
• Giải hệ phương trình nếu có điểm tiếp xúc cho trước.
• Ưu điểm: Phổ biến, dễ nhớ. Nhược điểm: Đôi khi tính toán dài, phải đặt điều kiện tham số.

4.2 Phương pháp nâng cao

• Sử dụng phương trình tiếp tuyến tham số tại điểm$M(x_1; y_1)$: Nếu$M$nằm trên đường tròn$(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = R^2$, phương trình tiếp tuyến:$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = R^2$
• Xét tiếp tuyến qua điểm ngoài đường tròn: Dùng phép đối xứng, công thức tiếp tuyến song song, hoặc sử dụng hệ số góc$k$với dạng$y = kx + n$.
• Tối ưu hóa: Tập trung thay số hợp lý, chú ý giảm số phép tính dư thừa, dùng máy tính cầm tay khi phù hợp.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Cho đường tròn$(C): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$. Viết phương trình tiếp tuyến với$(C)$tại điểm$A(7; 3)$.

Giải:

• Điểm$A$nằm trên$(C)$vì:$(7 - 2)^2 + (3 + 1)^2 = 25 + 16 = 41$(cần kiểm tra lại đề bài). Nếu đề bài cho đúng, ta dùng công thức tiếp tuyến tại$A(x_1, y_1)$ đối với đường tròn$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$là:$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = R^2$
• Với$a=2$,$b=-1$,$x_1=7$,$y_1=3$,$R^2=25$:
  $$(7-2)(x-2) + (3-(-1))(y+1) = 25 \\ \Rightarrow 5(x-2) + 4(y+1) = 25 \\ \Rightarrow 5x + 4y = 19$$
• Lý do: Đây là công thức nhanh và chuẩn cho tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn.

5.2 Bài tập nâng cao

Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn$(C): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ đi qua điểm$M(5; 4)$.

Lời giải phương pháp 1:

• Giả sử tiếp tuyến có phương trình:$Ax + By + C = 0$
• Điều kiện:$A^2 + B^2 \neq 0$và $M(5;4)$thuộc tiếp tuyến:$5A + 4B + C = 0$
• Khoảng cách từ tâm $(1;2)$ đến tiếp tuyến:$\frac{|A \cdot 1 + B \cdot 2 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = 2$
• Thiết lập hệ:
  $$\begin{cases} 5A + 4B + C = 0 \\ \frac{|A + 2B + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = 2 \\\end{cases}$$
• Giải hệ: Đặt $A + 2B + C = 2\sqrt{A^2+B^2}$hoặc$= -2\sqrt{A^2+B^2}$(do |.|) và thay$C= -5A-4B$.

Lời giải phương pháp 2 (nhanh):

• Gọi tiếp điểm$T(x_1, y_1)$,$T$thuộc$(C)$:$(x_1-1)^2 + (y_1 - 2)^2 = 4$
• Tiếp tuyến tại$T$có phương trình:$(x_1-1)(x-1) + (y_1 - 2)(y-2) = 4$
• Mặt khác,$M$thuộc tiếp tuyến nên$(x_1-1)(5-1) + (y_1-2)(4-2) = 4$
• Giải hệ hai phương trình hai ẩn$x_1$,$y_1$, tìm tọa độ tiếp điểm, thay ngược tìm phương trình tiếp tuyến.

So sánh: Phương pháp 2 thường ngắn hơn và dễ kiểm soát sai số khi giải bằng tham số hoá tiếp điểm.

6. Các biến thể thường gặp

• Tiếp tuyến song song/ vuông góc với đường thẳng đã biết.
• Tiếp tuyến đi qua điểm nằm trong/ngoài đường tròn.
• Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Mẹo: Luôn xác định rõ trạng thái điểm cho – nằm trên, trong hay ngoài đường tròn – để chọn đúng công thức!

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Xác định sai vị trí điểm cho.
• Áp dụng sai công thức tiếp tuyến tại điểm hoặc đi qua điểm ngoài.

Khắc phục: Luôn kiểm tra điều kiện điểm (nằm trên hay ngoài đường tròn) trước khi giải.

7.2 Lỗi về tính toán

• Tính thiếu hệ số, nhầm đổi dấu, sai điều kiện trị tuyệt đối.
• Sai sót khi làm tròn số hoặc tính căn bậc hai.

Mẹo kiểm tra: Thay kết quả vào đường tròn kiểm tra tiếp xúc đúng 1 điểm.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Vào ngay kho bài tập với 42.226+ bài tập cách giải xác định tiếp tuyến với đường tròn miễn phí, không cần đăng ký, luyện tập tức thì và theo dõi tiến độ cá nhân để nâng cao kỹ năng giải toán!

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Tuần 1-2: Học thuần thục công thức và lý thuyết, làm 20 bài cơ bản mỗi tuần.
• Tuần 3-4: Thực hành + kiểm tra nhanh các biến thể, làm 20 bài nâng cao/tuần.
• Tuần 5: Tổng hợp, ôn lại lý thuyết, tự kiểm tra với bài tập tổng hợp và tự chấm điểm.