1. Giới thiệu về bài toán hàm bậc nhất và tầm quan trọng

"Hàm bậc nhất" là một chủ đề nền tảng, xuất hiện rộng rãi trong các bài kiểm tra, thi học kỳ và cả các bài thi lớn hơn của học sinh lớp 10. Hiểu và giải thành thạo loại bài toán này không chỉ giúp các em xây dựng kiến thức đại số vững chắc mà còn hỗ trợ cho các chủ đề tiếp theo như phương trình, hệ phương trình, hàm số và ứng dụng hình học. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm bậc nhất là chìa khóa để thành công trong môn Toán ở bậc THPT.

2. Đặc điểm của bài toán về hàm bậc nhất

- Hàm bậc nhất là hàm có dạng$y = ax + b$với$a \neq 0$.

- Đồ thị là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

- Hệ số $a$xác định độ dốc,$b$là tung độ gốc (điểm cắt trục$Oy$).

- Các dạng câu hỏi phổ biến: xác định công thức hàm số, vẽ đồ thị, tìm giao điểm với trục, bài toán ứng dụng thực tế, chứng minh liên quan hệ số $a, b$.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm bậc nhất

Để giải thành công các bài toán về hàm bậc nhất, bạn nên thực hiện các bước sau:

1. Đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu.
2. Phân tích và xác định dạng bài: tìm công thức, vẽ đồ thị, tìm giao điểm, ứng dụng, chứng minh...
3. Áp dụng kiến thức cơ bản về tính chất, công thức hàm số bậc nhất.
4. Vận dụng kỹ năng tính toán, biến đổi công thức, giải phương trình nếu cần.
5. Kiểm tra và giải thích kết quả.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Cùng xét từng dạng với ví dụ cụ thể:

a) Xác định công thức hàm bậc nhất khi biết hai điểm

b) Vẽ đồ thị hàm bậc nhất

c) Tìm giao điểm giữa hai hàm bậc nhất

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• - Hàm số bậc nhất:$y = ax + b$,$a \neq 0$
• - Độ dốc (hệ số góc): hệ số $a$xác định hướng đi lên (nếu$a>0$), đi xuống (nếu$a<0$).
• - Giao điểm với trục$Oy$: đặt$x = 0$:$y = b$
• - Giao điểm với trục$Ox$: đặt$y=0$:$0 = ax + b \implies x = -\frac{b}{a}$
• - Muốn viết công thức hàm số đi qua hai điểm$A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)$:
  $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  $b = y_1 - a x_1$

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• - Cho biểu thức chưa rõ dạng bậc nhất, cần biến đổi về dạng$y = ax + b$.
• - Nếu hàm số đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, ta có $b=0$.
• - Cho hệ hai hàm bậc nhất, giải hệ để tìm giao điểm.
• - Nếu cho bài toán thực tế (lãi suất, chuyển động, tiền điện...), cần đặt ẩn và mô tả tình huống thành hàm số bậc nhất.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

8. Bài tập thực hành

Bài 1. Viết công thức hàm bậc nhất đi qua hai điểm$A(0,1)$và $B(2,7)$.

Bài 2. Cho$y = 4x - 5$. Vẽ đồ thị hàm số.

Bài 3. Cho$y = x - 3$và $y = -x + 1$. Tìm giao điểm của hai đồ thị.

Bài 4. Một xe xuất phát tại$A$lúc$7h$và di chuyển với vận tốc không đổi trên đoạn thẳng từ $A$ đến$B$. Viết hàm số biểu diễn quãng đường theo thời gian, biết sau$2$h xe đi được$100$km, sau$4$h xe đi được$200$km.

9. Mẹo và lưu ý tránh lỗi thường gặp

• - Khi xác định công thức hàm số, luôn KIỂM TRA lại nghiệm với cả hai điểm đề bài cho.
• - Đối với bài vẽ đồ thị, xác định rõ giao điểm với các trục, tránh vẽ nhầm chiều nếu$a < 0$.
• - Khi giải hệ phương trình tìm giao điểm, chú ý biến đổi sai dấu hoặc sai hệ số.
• - Nếu đề cho giá trị $a = 0$, phải xem lại, đó sẽ không còn là hàm bậc nhất.
• - Nắm chắc ý nghĩa hệ số $a$(tăng/giảm),$b$(giá trị khi$x=0$) để áp dụng linh hoạt.