Chiến lược giải quyết bài toán Vẽ elip theo phương trình chính tắc – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu về bài toán vẽ elip theo phương trình chính tắc

Bài toán vẽ elip theo phương trình chính tắc là dạng bài tập quan trọng trong chương trình Hình học lớp 10. Đây là kỹ năng nền tảng, giúp học sinh hiểu bản chất và hình dạng của elip khi biết phương trình của nó. Ngoài ra, việc nắm vững cách giải bài toán vẽ elip còn giúp bạn dễ dàng giải các bài liên quan như xác định các yếu tố elip, tính diện tích, độ dài cung, ứng dụng trong thực tế,...

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Phương trình chính tắc của elip có dạng tổng quát như sau:

$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$

Trong đó:

• Điểm$O(x_0, y_0)$là tâm elip
• $a > b > 0$là độ dài nửa trục lớn, nửa trục nhỏ
• Trục lớn song song trục$Ox$, trục nhỏ song song trục$Oy$

Bài toán yêu cầu học sinh xác định các thành phần quan trọng từ phương trình, sau đó thể hiện hình dạng elip chính xác trên hệ trục tọa độ. Đặc điểm quan trọng:

• Xác định đúng tâm elip
• Xác định đúng các trục, đỉnh và tiêu điểm
• Vẽ đúng tỉ lệ chiều dài nửa trục lớn$a$và nửa trục nhỏ $b$

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán vẽ elip

Khi gặp bài toán vẽ elip, học sinh nên thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Đưa phương trình elip về dạng chính tắc (nếu cần thiết)
• Bước 2: Xác định tâm$O(x_0, y_0)$
• Bước 3: Xác định$a$(nửa trục lớn) và $b$(nửa trục nhỏ)
• Bước 4: Vẽ hệ trục tọa độ, xác định vị trí tâm
• Bước 5: Xác định và vẽ các đỉnh trên trục lớn, trục nhỏ
• Bước 6: Xác định tiêu điểm và vẽ elip

4. Các bước giải quyết bài toán vẽ elip chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Vẽ elip có phương trình:$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$

• Bước 1: Đưa về dạng chính tắc: Phương trình đã dạng chính tắc,
• Bước 2: Tâm elip$O(0,0)$
• Bước 3:$a = 4$(vì $a^2 = 16$),$b = 3$(vì $b^2 = 9$)
• Bước 4: Vẽ trục tọa độ, đánh dấu điểm$O(0,0)$
• Bước 5: Xác định đỉnh trên trục Ox là $A_1(4,0)$,$A_2(-4,0)$; trên trục Oy là $B_1(0,3)$,$B_2(0,-3)$
• Bước 6: Nối các đỉnh lại, vẽ đường cong elip mềm mại qua$A_1$,$A_2$,$B_1$,$B_2$.
• Tiêu điểm: $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2.65$. Hai tiêu điểm $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$.

Ví dụ 2

Vẽ elip có phương trình:$\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$

• Bước 1: Phương trình đã chính tắc.
• Bước 2: Tâm elip$O(2,-3)$
• Bước 3:$a = 5$,$b = 2$
• Bước 4: Vẽ hệ trục tọa độ. Đánh dấu tâm$O(2,-3)$
• Bước 5: Đỉnh trên trục lớn:$A_1(2+5, -3) = (7, -3)$,$A_2(2-5,-3) = (-3,-3)$; trên trục nhỏ:$B_1(2, -3+2) = (2, -1)$,$B_2(2, -3-2) = (2, -5)$
• Bước 6: Vẽ elip qua các đỉnh trên
• Tiêu điểm: $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21} \approx 4.58$. $F_1(2+c, -3)$, $F_2(2-c, -3)$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Phương trình chính tắc:$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$
• Cách xác định tâm:$O(x_0, y_0)$
• Nửa trục lớn:$a$, nửa trục nhỏ:$b$($a > b > 0$)
• Các đỉnh:$A_1(x_0 + a, y_0)$,$A_2(x_0 - a, y_0)$,$B_1(x_0, y_0 + b)$,$B_2(x_0, y_0 - b)$
• Tiêu điểm: $c = \sqrt{a^2 - b^2}$, $F_1(x_0 + c, y_0)$, $F_2(x_0 - c, y_0)$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Bài toán có thể yêu cầu thêm như xác định phương trình từ dữ kiện, tìm các yếu tố elip khi chưa cho tâm, trục lớn nhỏ…

• Nếu phương trình chưa chính tắc: Cần biến đổi về chính tắc (hoặc dùng phép tịnh tiến, đổi dấu)
• Nếu trục chưa song song trục toạ độ: Đôi lúc có thể cần xoay trục, chuyển về trục song song Ox, Oy (vượt ngoài chương trình cơ bản lớp 10)
• Nếu dữ kiện cho các điểm đặc biệt, áp dụng công thức ngược để lập phương trình

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Vẽ elip có phương trình$\frac{(x-1)^2}{36} + \frac{(y+2)^2}{25} = 1$

• Nhận dạng:$a^2 = 36 \Rightarrow a = 6$;$b^2 = 25 \Rightarrow b = 5$; tâm$O(1,-2)$
• Đỉnh trục lớn:$A_1(1+6,-2) = (7,-2)$,$A_2(1-6,-2) = (-5,-2)$
• Đỉnh trục nhỏ:$B_1(1,-2+5) = (1,3)$,$B_2(1,-2-5) = (1,-7)$
• Tiêu điểm: $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} \approx 3.32$. $F_1(1+3.32, -2) \approx (4.32, -2)$, $F_2(1-3.32,-2) \approx (-2.32,-2)$
• Tiến hành vẽ hệ trục, xác định các điểm, vẽ elip mềm mại

Lời giải từng bước rõ ràng như ví dụ trên giúp bạn học cách giải bài toán vẽ elip theo phương trình chính tắc.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• Bài 1: Vẽ elip$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
• Bài 2: Cho elip$\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$. Hãy xác định các đỉnh và tiêu điểm, vẽ hình.
• Bài 3: Vẽ elip$\frac{(x-2)^2}{49} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1$

Bạn hãy giải từng bài theo đúng các bước chiến lược đã học. Sau khi làm xong, kiểm tra lại các tọa độ, tính toán và tỉ lệ vẽ. Nếu có điều kiện, hãy sử dụng phần mềm để kiểm tra kết quả vẽ của mình.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định đúng tâm elip trước khi xác định các đỉnh.
• Kiểm tra kỹ $a$là nửa trục lớn,$b$là nửa trục nhỏ. Không lẫn lộn vị trí $a$và $b$.
• Nếu phương trình chưa chính tắc, cần biến đổi đúng về dạng chính tắc.
• Vẽ tỉ lệ các trục. Ghi rõ các đỉnh, tiêu điểm để không bị nhầm.
• Đọc kỹ đề, xác định đúng các giá trị $a$,$b$,$x_0$,$y_0$.

Hi vọng với chiến lược giải bài toán vẽ elip theo phương trình chính tắc ở trên, bạn học sinh lớp 10 sẽ tự tin chinh phục các dạng bài tập về elip! Hãy luyện tập nhiều để nắm chắc kỹ năng này.