Chiến lược giải bài toán Xác định dấu của tam thức bậc hai qua đồ thị lớp 10 (có lời giải chi tiết)

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán “Xác định dấu của tam thức bậc hai qua đồ thị” yêu cầu học sinh sử dụng đồ thị hàm số bậc hai ($y = ax^2 + bx + c$)để xác định trên tập nào thì tam thức dương, trên tập nào thì âm. Dạng này thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra 15 phút, đề thi giữa kỳ, học kỳ và cả đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Kỹ năng xác định dấu của tam thức rất quan trọng vì liên quan mật thiết đến giải bất phương trình, khảo sát sự biến thiên hàm bậc hai, tìm tập nghiệm... Ngoài ra, bạn còn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226 bài tập trực tuyến!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Đề cho đồ thị hàm số bậc hai (dạng parabol), yêu cầu xác định dấu của$f(x)=ax^2+bx+c$theo$x$.
- Một số từ khóa đặc trưng: “tìm khoảng mà f(x)>0, f(x)<0”, “dấu của tam thức”, “dựa vào đồ thị”, “nghiệm”, “hoành độ giao điểm với trục hoành”,…

2.2 Kiến thức cần thiết

- Biết parabol$y = ax^2 + bx + c$cắt trục hoành tại$x = x_1, x_2$(nghiệm phương trình$ax^2 + bx + c = 0$).
- Dấu của$f(x)$: xét vị trí của parabol so với trục hoành.
- Sự liên hệ với dấu của hệ số $a$(hệ số bậc hai), và các lý thuyết về phương trình bậc hai.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Chú ý dạng đồ thị: parabol hướng lên (a>0) hay hướng xuống (a<0)?
- Xác định yêu cầu: tìm khoảng dấu dương/âm của$f(x)$?
- Dữ liệu cho: vị trí parabol, số nghiệm, giá trị các nghiệm nếu có.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn phương pháp đọc đồ thị đúng.
- Sắp xếp bước: 1) Xác định hoành độ giao điểm, 2) Xác định dấu hệ số a, 3) Phân tích vị trí parabol đối với trục hoành.
- Có thể dự đoán: f(x) dương ngoài hoặc trong các nghiệm.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Dùng các ký hiệu trên đồ thị.
- Cẩn thận khi xác định khoảng nghiệm hoặc bất phương trình liên quan.
- Soát lại đáp án bằng việc thử giá trị mẫu trên các khoảng để kiểm chứng.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Bước 1: Quan sát điểm cắt trục hoành ($x_1, x_2$).
- Bước 2: Nhìn chiều mở parabol xác định dấu của$a$(nở lên:$a>0$, nở xuống:$a<0$).
- Quy tắc nhớ: Với$a>0$,$f(x) > 0$khi$x < x_1$hoặc$x > x_2$,$f(x) < 0$khi$x_1 < x < x_2$(ngược lại cho$a<0$).
- Áp dụng khi đề bài cho đồ thị parabol đầy đủ.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Dùng bảng xét dấu kết hợp đồ thị.
- Ghi nhớ dấu hiệu nhanh:$f(x)$chỉ đổi dấu tại nghiệm (điểm cắt trục hoành).
- Nếu parabol nằm hoàn toàn trên hoặc dưới trục hoành (không có nghiệm), dùng dấu hệ số $a$ để xác định dấu tam thức trên$orall x$.
- Lưu ý áp dụng với bài tập bất phương trình: xác định miền nghiệm từ đồ thị.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho đồ thị $y = f(x) = x^2 - 3x + 2$(đồ thị là parabol cắt trục hoành tại$x = 1$và $x = 2$). Xác định khoảng mà $f(x) > 0$và $f(x) < 0$.

Bước giải chi tiết:
- Xác định hệ số $a = 1 > 0$nên parabol hướng lên trên.
- Nghiệm:$x_1 = 1$,$x_2 = 2$.
- Vì $a > 0$,$f(x) > 0$khi$x < 1$hoặc$x > 2$,$f(x) < 0$khi$1 < x < 2$.
- Giải thích: Trên đồ thị, parabol nằm phía trên trục hoành ngoài khoảng$(1,2)$, nằm phía dưới giữa hai nghiệm.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Đồ thị $y = -2x^2 + 4x + 1$(parabol hướng xuống, cắt trục hoành tại$x = -0.2$và $x = 2.2$). Xác định dấu của$f(x)$và giải bất phương trình$-2x^2 + 4x + 1 \ge 0$.

Lời giải:
-$a = -2 < 0$, parabol hướng xuống.
- Nghiệm:$x_1 = -0.2$,$x_2 = 2.2$.
-$f(x) > 0$khi$-0.2 < x < 2.2$,$f(x) < 0$khi$x < -0.2$hoặc$x > 2.2$.
- Họ nghiệm bất phương trình:$-0.2 \le x \le 2.2$.
- Cách giải này nhanh nhờ đọc trực tiếp từ đồ thị.

6. Các biến thể thường gặp

- Bài toán parabol không cắt trục hoành (vô nghiệm): dấu tam thức xác định trên toàn bộ $f{R}$.
- Đề bài cho nghiệm ẩn hoặc yêu cầu tìm khoảng chứa nghiệm.
- Dạng bất phương trình liên quan:$f(x) \ge 0$,$f(x) < 0$…

Chiến lược: Ưu tiên phân tích vị trí parabol, tận dụng tính đối xứng của đồ thị, kết hợp đánh giá nghiệm, hệ số $a$ để xác định dấu chính xác.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Nhầm chiều parabol (nhầm dấu$a$).
- Không xác định đúng nghiệm, xét nhầm dấu trên từng khoảng.
- Khắc phục: luôn kiểm tra lại hệ số $a$và vị trí giao điểm.

7.2 Lỗi về tính toán

- Nhập sai nghiệm vào khoảng.
- Lỗi tính toán khi xác định nghiệm.
- Gợi ý: thử giá trị với một số $x$cụ thể trên các khoảng để kiểm nghiệm kết quả.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập thư viện 42.226+ bài tập cách giải Xác định dấu của tam thức bậc hai qua đồ thị miễn phí! Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức, hệ thống sẽ tự động lưu lại quá trình học để bạn dễ dàng theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Lên lịch luyện tập mỗi tuần 2-3 buổi, mỗi buổi luyện tối thiểu 30 phút.
- Đặt mục tiêu: 90% bài tập cơ bản làm đúng, sau đó nâng lên mức nâng cao.
- Sau mỗi tuần, rà soát lại các lỗi thường gặp, ghi chú và khắc phục.
- Đánh giá tiến độ bằng cách thử giải các đề tổng hợp.