Định Nghĩa và Cách Tính Tích Vô Hướng – Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Học Sinh Lớp 10

1. Giới thiệu chung về tích vô hướng

Tích vô hướng (hay còn gọi là tích trong hoặc dot product) là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học và đại số tuyến tính. Ở lớp 10, tích vô hướng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa hai vectơ trong không gian, đồng thời là nền tảng cho nhiều ứng dụng về tính góc, khoảng cách, và giải các bài toán hình học. Việc nắm chắc khái niệm tích vô hướng sẽ giúp các em vững vàng hơn khi học các chương trình toán ở các lớp trên.

2. Định nghĩa chính xác của tích vô hướng

Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$trong không gian. Tích vô hướng của hai vectơ này là một số thực, được ký hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$hoặc$\vec{a} \vec{b}$.

Định nghĩa:

Tích vô hướng của$\vec{a}$và $\vec{b}$ được xác định bởi công thức:

trong đó: $|\vec{a}|$ và $|\vec{b}|$ là độ dài của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$;$\alpha$là góc hợp bởi hai vectơ đó.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$có độ dài lần lượt là $3$và $4$, hợp với nhau một góc$60^\circ$. Tính tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Giải:

Áp dụng công thức:

Ta biết$\cos 60^\circ = 0,5$. Vậy

Kết luận: Tích vô hướng của hai vectơ này bằng$6$.

Trong tọa độ Descartes (tọa độ vuông góc Oxy), với$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$, ta có công thức đặc biệt:

Ví dụ 2: Cho$\vec{a} = (2; 3)$,$\vec{b} = (1; 5)$. Khi đó:

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu hai vectơ cùng hướng ($\alpha = 0^\circ$):$\cos 0^\circ = 1 \rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.
• Nếu hai vectơ vuông góc ($\alpha = 90^\circ$):$\cos 90^\circ = 0 \rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
• Nếu hai vectơ ngược hướng ($\alpha = 180^\circ$):$\cos 180^\circ = -1 \rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Lưu ý: Tích vô hướng là một số thực (không phải một vectơ).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tích vô hướng liên quan mật thiết tới khái niệm góc giữa hai vectơ, vectơ vuông góc, và độ dài vectơ:

• Hai vectơ vuông góc nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
• Có thể dùng tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ với công thức:$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{a} = (1, 2)$;$\vec{b} = (3, -4)$. Tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

$\vec{a}=(2;3)$ , vectơ $\vec{b}=(1;5)$ và biểu diễn tổng vectơ $\vec{a}+\vec{b}=(3;8)$ bằng hình bình hành trên mặt phẳng toạ độ" title="Hình minh họa: Minh họa vectơ $\vec{a}=(2;3)$ , vectơ $\vec{b}=(1;5)$ và biểu diễn tổng vectơ $\vec{a}+\vec{b}=(3;8)$ bằng hình bình hành trên mặt phẳng toạ độ" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Giải:

Đáp số:$-5$

Bài tập 2: Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$có cùng độ dài$5$, biết$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$. Tính góc giữa hai vectơ.

Giải:

Suy ra:

Đáp số: Góc giữa hai vectơ xấp xỉ $66,42^\circ$.

Bài tập 3: Tìm tất cả các vectơ $\vec{b} = (x, 2)$vuông góc với$\vec{a} = (4, 3)$.

Giải:

Vậy mọi vectơ $\vec{b} = \left(-\frac{3}{2}; 2\right)$ đều vuông góc với$\vec{a}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên lấy cosin của góc giữa hai vectơ trong công thức.
• Tính độ dài vectơ không đúng (quên bình phương các thành phần khi lấy căn bậc hai).
• Nhập sai dấu của góc (cos$180^\circ$là $-1$).
• Nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích có hướng (tích vectơ).
• Khi sử dụng công thức toạ độ, quên nhân lần lượt theo từng thành phần tương ứng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực, dùng ký hiệu$\vec{a} \cdot \vec{b}$.
• Công thức tổng quát:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$.
• Tích vô hướng cho biết mối quan hệ về hướng giữa hai vectơ (cùng hướng, ngược hướng, vuông góc).
• Dùng công thức toạ độ để tính nhanh trong các bài toán:$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$.
• Tích vô hướng khác với tích có hướng (khái niệm sẽ học ở các lớp trên).

Việc hiểu rõ khái niệm và cách tính tích vô hướng sẽ giúp các em giải quyết rất nhiều bài toán thực tiễn cũng như mở rộng cánh cửa đến các chủ đề toán học nâng cao hơn.