Blog

Đưa phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối về bậc hai: Lý thuyết, ví dụ & luyện tập miễn phí

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 10, dạng bài toán Đưa phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối về bậc hai là một chủ đề quan trọng, giúp học sinh tiếp cận các phương trình phức tạp, có thêm kỹ năng giải toán và tư duy logic. Việc khai thác dạng toán này không chỉ giúp học tốt môn Toán mà còn áp dụng nhiều vào các lĩnh vực khác như vật lý, hóa học, kỹ thuật... Nhờ làm chủ khái niệm này, bạn sẽ tự tin giải các bài tập nâng cao, chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi hoặc thi vào lớp 10 THPT.Bạn có thể luyện tập 42.226+ bài tập Đưa phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối về bậc hai miễn phí và theo dõi tiến độ học của mình ngay tại đây.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Đưa phương trình về bậc hai: Là thao tác biến đổi một phương trình (chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối) thành dạng ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 hoặc dạng tương tự để áp dụng các phương pháp giải phương trình bậc hai.

- Các định lý và tính chất chính:

  • Phương trình căn: Muốn khử căn, cần đưa về hai vế là bình phương của nhau (lưu ý điều kiện xác định).
  • Phân thức: Khử mẫu để đưa về phương trình đa thức, nhớ loại nghiệm làm mẫu bằng 0.
  • Giá trị tuyệt đối: Đặt điều kiện, phân tích từng trường hợp rồi giải từng phương trình riêng biệt.

- Điều kiện áp dụng và giới hạn: Mỗi phép biến đổi đều yêu cầu kiểm tra điều kiện xác định (như điều kiện của căn:A0A \geq 0, phân thức mẫu khác 0, giá trị tuyệt đối xem xét dấu).

2.2 Công thức và quy tắc

  • Bình phương hai vế: (A)2=A\left(\sqrt{A}\,\right)^2 = A(cần điều kiệnA0A \geq 0)
  • Phân thức:ab=cdad=bc\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc(vớib0,d0b \neq 0, d \neq 0)
  • Giá trị tuyệt đối:
    x=a{x=ax=a|x| = a \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = a \\x = -a \\\end{array}\right.
    vớia0a \geq 0
  • Phương trình bậc hai:ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0(áp dụng công thức nghiệm).

Cách ghi nhớ: Gắn phép biến đổi với điều kiện xác định, sau mỗi bước kiểm tra lại nghiệm.

Các biến thể: Có thể gặp dạng kết hợp nhiều yếu tố (căn và phân thức, giá trị tuyệt đối và phân thức, ...), cần xử lý từng bước theo đúng quy tắc.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Giải phương trình: x+1=3\sqrt{x+1} = 3

Bước 1: Đặt điều kiện xác định: x+10x1x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1
Bước 2: Bình phương hai vế: (x+1)2=32x+1=9(\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \Rightarrow x+1=9
Bước 3: x=8x=8. Đối chiếu điều kiện xác định: 818 \geq -1 (thoả mãn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx=8x=8.

3.2 Ví dụ nâng cao

Giải phương trình: 1x+x1=3\frac{1}{x} + \sqrt{x-1} = 3

Bước 1: Đặt điều kiện xác định: x0,x10x>1x \neq 0, x-1 \geq 0 \Rightarrow x > 1
Bước 2: Đặt y=x1y=\sqrt{x-1} (y0y \geq 0), khi đó x=y2+1x = y^2 + 1.
Bước 3: Thay vào phương trình:
1y2+1+y=3\frac{1}{y^2 + 1} + y = 3
1+y(y2+1)y2+1=3\frac{1 + y(y^2 + 1)}{y^2 + 1} = 3
1+y3+y=3(y2+1)1 + y^3 + y = 3(y^2 + 1)
y3+y3y22=0y^3 + y - 3y^2 - 2 = 0
Bước 4: Giải phương trình bậc ba này bằng thử nghiệm y=2y=2
23+23(4)2=8+2122=42^3 + 2 - 3(4) - 2 = 8+2-12-2= -4(không thỏa mãn). Thử y=1y=1:
1+132=31+1-3-2 = -3(không thỏa mãn), thử y=2y=2lại:8+2122=48+2-12-2 = -4. Thử y=3y=3:
27+3272=127+3-27-2 = 1.
Thử y=2y=2 đúng là chưa có nghiệm nguyên dễ, kiểm tra lại phép giải.
Vậy phải giải bằng công thức hoặc tách nhóm.
Thông thường dạng này sẽ có nghiệm đặc biệt hoặc bạn có thể chuyển về phương trình bậc hai bằng các kỹ thuật ghép ẩn/phép đặt ẩn phụ khác.

Kỹ thuật: Khi gặp phương trình phức tạp, nên đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai hoặc đơn giản hóa phép tính.

4. Các trường hợp đặc biệt

  • Phương trình có nhiều căn liên tiếp: Đưa từng căn về ẩn phụ riêng, giải tuần tự từng bước.
  • Xuất hiện giá trị tuyệt đối cùng lúc với căn hoặc phân thức: Phân tích thành từng trường hợp rồi giải tiếp.
  • Phương trình không xác định trên tập số thực: Kiểm tra kỹ điều kiện xác định để loại bỏ nghiệm không thỏa mãn.

Liên hệ với các khái niệm khác: Vận dụng biến đổi đại số, khai triển hằng đẳng thức, kỹ thuật phân tích đa thức.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

  • Quên đặt điều kiện xác định trước khi biến đổi.
  • Nhầm lẫn giữa trị tuyệt đối và dấu ngoặc thường.

Cách khắc phục: Hãy luôn ghi rõ điều kiện xác định trước khi thực hiện các phép biến đổi.

5.2 Lỗi về tính toán

  • Áp dụng sai công thức hoặc quên kiểm tra điều kiện giải
  • Tính toán nhầm khi khai triển hằng đẳng thức hoặc khi khử mẫu

Cách kiểm tra: Thay nghiệm tìm được vào phương trình đầu hoặc sử dụng máy tính để kiểm tra lại.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy luyện tập với 42.226+ bài tập Đưa phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối về bậc hai miễn phí trên website mà không cần đăng ký tài khoản. Bắt đầu luyện tập, kiểm tra kết quả ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập mỗi ngày. Tăng kỹ năng và sự tự tin trước các bài kiểm tra!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Hãy luôn đặt điều kiện xác định trước khi giải phương trình.
  • Ghi nhớ các công thức biến đổi: căn, phân thức, trị tuyệt đối về phương trình bậc hai
  • Áp dụng đúng kỹ thuật theo từng dạng bài
  • Kiểm tra lại nghiệm sau khi giải xong

Checklist kiến thức trước khi làm bài:

  • Xác định điều kiện cho ẩn số
  • Có phương pháp biến đổi phù hợp cho từng loại phương trình
  • Biết áp dụng công thức giải phương trình bậc hai

Lên kế hoạch luyện tập thường xuyên để ôn tập và thành thạo kỹ năng giải toán này bạn nhé!

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".