1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, việc giải các phương trình không chỉ giới hạn ở các phương trình bậc hai hoặc bậc nhất, mà còn mở rộng sang những phương trình phức tạp hơn chứa các biểu thức căn, phân thức hoặc giá trị tuyệt đối. Khả năng đưa các phương trình này về dạng bậc hai là rất quan trọng, giúp học sinh dễ dàng áp dụng các kỹ năng giải phương trình bậc hai, đồng thời phát triển tư duy logic và kỹ năng biến đổi đại số. Hiểu và thành thạo dạng bài này sẽ hỗ trợ rất nhiều cho học sinh khi tiến lên các lớp cao và trong các kỳ thi lớn.

2. Định nghĩa khái niệm

“Đưa phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối về bậc hai” là quá trình biến đổi một phương trình có chứa biểu thức căn thức ($\sqrt{x}$), phân thức ($\frac{a}{b}$), hoặc giá trị tuyệt đối ($|x|$) về dạng phương trình bậc hai chuẩn: $ax^2 + bx + c = 0$, từ đó áp dụng các phương pháp giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để học sinh dễ hiểu, chúng ta sẽ đi qua từng dạng, chỉ rõ từng bước chuyển về bậc hai với các ví dụ minh họa.

a) Phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{2x + 3} = x + 1$.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định:$2x + 3 \geq 0$(để căn có nghĩa) và $x + 1 \geq 0$(để hai vế cùng dấu khi bình phương)

$\Rightarrow x \geq -\frac{3}{2}$và $x \geq -1$(chọn$x \geq -1$).

Bước 2: Bình phương hai vế:

$(\sqrt{2x + 3})^2 = (x + 1)^2$

$2x + 3 = x^2 + 2x + 1$

Chuyển về dạng bậc hai:

$x^2 + 2x + 1 - 2x - 3 = 0$

$x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$.

Kiểm tra điều kiện xác định: $x = \sqrt{2} \approx 1.41 \geq -1$(thoả mãn);$x = -\sqrt{2} \approx -1.41$(không thoả mãn). Vậy nghiệm là $x = \sqrt{2}$.

b) Phương trình chứa phân thức

Ví dụ 2: Giải phương trình$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 3$.

Bước 1: Xác định điều kiện:$x <br> \neq 0, x <br> \neq 2$.

Bước 2: Quy đồng và khử mẫu:

$\frac{x-2 + x}{x(x-2)} = 3$

$\frac{2x-2}{x(x-2)} = 3$

Suy ra:$2x - 2 = 3x(x - 2)$

$2x - 2 = 3x^2 - 6x$

$3x^2 - 8x + 2 = 0$

Giải phương trình bậc hai này theo cách thông thường.

c) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Ví dụ 3: Giải phương trình$|x - 1| = x^2 - 5x + 6$.

Bước 1: Nhớ rằng$|x - 1| \geq 0$, do đó $x^2 - 5x + 6 \geq 0$.

Giải$x^2 - 5x + 6 \geq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$hoặc$x \geq 3$.

Bước 2: Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1:$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

Phương trình trở thành$x - 1 = x^2 - 5x + 6$

$x^2 - 6x + 7 = 0 \Leftrightarrow (x-7)(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 1$hoặc$x = 7$.

Đối chiếu với miền xác định$x \geq 1$và $x \leq 2$hoặc$x \geq 3$:$x = 1$thỏa$x \geq 1$và $x \leq 2$;$x = 7$thỏa$x \geq 3$.

- Trường hợp 2:$x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$

Phương trình trở thành$-(x - 1) = x^2 - 5x + 6 \Rightarrow x^2 - 4x + 5 = 0$

Giải phương trình:$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$nên không có nghiệm.

Vậy nghiệm là $x = 1$và $x = 7$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Với căn thức, nếu hai vế cùng chứa căn, cần chuyển một vế về không trước khi bình phương.

- Khi phương trình có nhiều biểu thức giá trị tuyệt đối, cần xét tất cả trường hợp dấu cho từng biểu thức.

- Khi giải phương trình phân thức, cần kiểm tra kĩ điều kiện xác định vì khử mẫu có thể sinh ra nghiệm “ngoại lai” (không thoả mãn điều kiện gốc).

- Sau khi bình phương, có thể xuất hiện nghiệm không thoả mãn điều kiện xác định, cần kiểm tra lại tất cả nghiệm tìm được.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kỹ năng đưa phương trình về bậc hai liên quan mật thiết đến kiến thức về căn thức, phân thức đại số, bất phương trình, phương trình bậc hai cũng như kiến thức về tập xác định. Ngoài ra, các phương pháp này còn là nền tảng quan trọng trong đại số, giải tích về sau.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Giải phương trình $\sqrt{x+5} - x = 1$.

Giải:

Điều kiện xác định:$x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -5$

$\sqrt{x + 5} = x + 1$

Vì $\sqrt{x + 5} \geq 0 \Rightarrow x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$.

Bình phương hai vế:$x + 5 = (x + 1)^2 \Rightarrow x + 5 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 + x - 4 = 0$

Giải tiếp: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Kiểm tra các điều kiện: $\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} < -1$, loại. $\frac{-1 + \sqrt{17}}{2} > -1$ ($\sqrt{17} \approx 4.12$), thoả mãn.

Vậy nghiệm cần tìm là $x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

Bài 2: Giải phương trình$\frac{3}{x+2} = x$.

Điều kiện xác định:$x <br> \neq -2$.

Khử mẫu:$3 = x(x + 2) \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -3$hoặc$x = 1$.

Cả hai giá trị đều thỏa điều kiện xác định.

Bài 3: Giải phương trình$|2x - 4| = x^2 - 6x + 8$.

Lời giải:

Điều kiện:$x^2 - 6x + 8 \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x - 4) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$hoặc$x \geq 4$.

Trường hợp 1:$2x - 4 \geq 0 \rightarrow x \geq 2$

Kết hợp$x \geq 2$với điều kiện xác định, ta có $x \geq 4$.

Phương trình:$2x - 4 = x^2 - 6x + 8 \Rightarrow x^2 - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow (x - 6)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 6$(vì $x = 2$không thuộc$x \geq 4$).

Trường hợp 2:$2x - 4 < 0 \rightarrow x < 2$

Kết hợp$x < 2$và điều kiện xác định$x \leq 2$thì $x < 2$.

Phương trình:$-(2x - 4) = x^2 - 6x + 8 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$(nhưng$x = 2$không thuộc$x < 2$, nên loại).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 6$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

1. Không đặt điều kiện xác định, dẫn tới nhận nghiệm không hợp lệ.

2. Quên kiểm tra lại nghiệm sau bước bình phương hoặc khử mẫu.

3. Đối với giá trị tuyệt đối, quên xét đủ các trường hợp.

4. Khi quy đồng phân thức, sai sót trong phép nhân hoặc chuyển vế.

Để tránh lỗi, luôn nhớ kiểm tra điều kiện xác định, đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu, làm cẩn thận khi biến đổi công thức.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Luôn đặt điều kiện xác định trước khi biến đổi hoặc giải phương trình.
• Chuyển phương trình về dạng bậc hai để dễ giải bằng công thức, hoàn thành bình phương hoặc phân tích thành nhân tử.
• Kiểm tra lại tất cả nghiệm tìm được, nhất là với căn thức và phân thức.
• Xét đủ các trường hợp đối với phương trình giá trị tuyệt đối.
• Rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số sẽ giúp giải nhanh và chính xác mọi dạng bài.