1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của bài toán thực tế dùng hệ bất phương trình trong toán học lớp 10

Trong cuộc sống, nhiều bài toán thực tế đòi hỏi chúng ta phải tìm phương án tối ưu (làm tốt nhất một điều gì đó: ví dụ, lợi nhuận lớn nhất, chi phí nhỏ nhất…) trong điều kiện các yếu tố bị ràng buộc (hạn chế bởi điều kiện vật chất, con người, thời gian, v.v.). Để giải quyết những bài toán này, chúng ta thường sử dụng hệ bất phương trình để mô tả các ràng buộc thực tế, và sau đó tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (tối ưu hóa) của một đại lượng nhất định.

Giải bài toán thực tế dùng hệ bất phương trình là một kiến thức quan trọng trong chương trình toán lớp 10. Nó tạo nền tảng cho các bài toán ứng dụng ở các lớp trên (chẳng hạn bài toán quy hoạch tuyến tính ở đại học) và các lĩnh vực khác như kinh tế, kỹ thuật, tin học… nên rất cần thiết cho mỗi học sinh.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về giải bài toán thực tế dùng hệ bất phương trình (ràng buộc - tối ưu)

Bài toán thực tế dùng hệ bất phương trình (ràng buộc - tối ưu) là dạng bài toán mà trong đó, các điều kiện thực tế được biểu diễn bằng hệ các bất phương trình, gọi là hệ ràng buộc. Mục tiêu của bài toán là tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (tối ưu nhất) của một đại lượng (hàm mục tiêu) thoả mãn đồng thời tất cả các điều kiện ràng buộc.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để giải một bài toán thực tế bằng hệ bất phương trình, ta thường thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các ẩn số, ký hiệu các đại lượng cần tìm.

Bước 2: Dựa vào các yêu cầu, điều kiện cụ thể trong đề, thiết lập hệ bất phương trình biểu diễn các ràng buộc.

Bước 3: Thiết lập hàm mục tiêu cần tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất).

Bước 4: Giải hệ bất phương trình để tìm miền giá trị của các ẩn thoả mãn điều kiện.

Bước 5: Tìm giá trị tối ưu của hàm mục tiêu trên miền giá trị vừa tìm được.

Bước 6: Kết luận bài toán, trả lời đúng câu hỏi thực tế đặt ra.

Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất 1 sản phẩm A cần 2 giờ lao động và 1kg nguyên liệu; 1 sản phẩm B cần 1 giờ lao động và 2kg nguyên liệu. Xưởng có tối đa 10 giờ lao động và 8kg nguyên liệu mỗi ngày. Lợi nhuận mỗi sản phẩm A là 3 triệu đồng, mỗi sản phẩm B là 2 triệu đồng. Hỏi mỗi ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất?

Áp dụng các bước giải như sau:

Bước 1: Đặt$x$là số sản phẩm A,$y$là số sản phẩm B (đều$\geq 0$và là số nguyên không âm).

Bước 2: Lập bất phương trình ràng buộc về lao động (mỗi ngày không quá 10 giờ):$2x + y \leq 10$

Ràng buộc về nguyên liệu:$x + 2y \leq 8$

Bước 3: Hàm mục tiêu là lợi nhuận$P = 3x + 2y$(triệu đồng) cần đạt giá trị lớn nhất.

Bước 4: Giải hệ bất phương trình:

$$\left\{\begin{array}{l} 2x + y \leq 10 \\x + 2y \leq 8 \\x \geq 0 \\y \geq 0 \\\end{array} \right.$$

Bước 5: Tìm tất cả các cặp$(x, y)$thoả mãn, rồi tính$P$tại từng cặp để chọn giá trị lớn nhất.

Bước 6: Trả lời vấn đề thực tế: xưởng nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại.

Phân tích miền nghiệm:
- Với$x, y \geq 0$
-$2x + y \leq 10$ightarrow$y \leq 10 - 2x$
-$x + 2y \leq 8$ightarrow$y \leq \frac{8 - x}{2}$
Từ đó, với$x$nguyên từ $0$ đến$5$, xét từng giá trị $x$, tìm$y$nguyên thỏa mãn và tính$P$:

- Nếu$x = 0$:$y \leq 10$và $y \leq 4$nên$y$tối đa là 4.$P = 0 + 2 \times 4 = 8$.
- Nếu$x = 1$:$y \leq 8$,$y \leq 3.5$nên$y$tối đa là 3.$P = 3 + 2 \times 3 = 9$.
- Nếu$x = 2$:$y \leq 6$,$y \leq 3$nên$y$tối đa là 3.$P = 6 + 2 \times 3 = 12$.
- Nếu$x = 3$:$y \leq 4$,$y \leq 2.5$nên$y$tối đa là 2.$P = 9 + 2 \times 2 = 13$.
- Nếu$x = 4$:$y \leq 2$,$y \leq 2$nên$y$tối đa là 2.$P = 12 + 2 \times 2 = 16$.
- Nếu$x = 5$:$y \leq 0$,$y \leq 1.5$nên$y$tối đa là 0.$P = 15 + 0 = 15$.

Vậy giá trị lớn nhất$P = 16$ đạt được khi$x = 4$,$y = 2$.

Kết luận: Mỗi ngày nên sản xuất 4 sản phẩm A và 2 sản phẩm B để đạt lợi nhuận lớn nhất là 16 triệu đồng.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Có thể bài toán có nhiều hơn hai ẩn, khi đó việc giải hệ sẽ phức tạp hơn, nên thường vẽ hình khi chỉ có hai ẩn.

Đôi khi điều kiện bài toán chỉ cho phép giá trị nguyên, vì không thể sản xuất phần lẻ của một sản phẩm.

Có thể miền nghiệm là rỗng nếu các ràng buộc mâu thuẫn nhau.

Một số bài toán có nhiều nghiệm tối ưu (cùng giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Bài toán này liên quan trực tiếp đến giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Là cơ sở cho các bài toán quy hoạch tuyến tính ở bậc cao hơn.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: (Dạng quen thuộc)
Một cửa hàng có tối đa 45 kg gạo và 24 lít dầu để đóng thành hai loại quà tặng. Gói A cần 3 kg gạo và 2 lít dầu, gói B cần 2 kg gạo và 3 lít dầu. Mỗi gói A bán được 50 nghìn đồng, mỗi gói B bán được 60 nghìn đồng. Hỏi cửa hàng đóng tối đa bao nhiêu gói mỗi loại để thu nhập nhiều nhất?

Giải:
Gọi$x$là số gói A,$y$là số gói B,$x, y \geq 0$.
Ràng buộc:
$3x + 2y \leq 45$(gạo)
$2x + 3y \leq 24$(dầu)
Thu nhập:$T = 50x + 60y$.

Giải hệ:

Xét$x = 0 \to y \leq 12$,$y = 0 \to x \leq 15$...
Thử các giá trị, tìm cặp$(x, y)$nguyên không âm, tính$T$, chọn giá trị lớn nhất. (Học sinh tự thực hiện hoặc xem hướng dẫn ở trên)

Bài 2: (Dạng tối ưu hóa chi phí)
Một xưởng muốn sản xuất hai sản phẩm X và Y. Mỗi sản phẩm X cần 4 nguyên liệu loại I, 3 nguyên liệu loại II. Mỗi sản phẩm Y cần 3 nguyên liệu loại I, 5 nguyên liệu loại II. Xưởng có tối đa 60 đơn vị nguyên liệu I và 75 đơn vị nguyên liệu II. Chi phí để sản xuất mỗi sản phẩm X là 200 nghìn đồng, mỗi sản phẩm Y là 250 nghìn đồng. Hỏi để giảm tối đa chi phí mà vẫn dùng hết nguyên liệu, xưởng nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại?

Học sinh thực hiện tương tự như ví dụ chi tiết ở trên: Lập hệ bất phương trình, đặt hàm mục tiêu là chi phí nhỏ nhất, thử các giá trị, tìm nghiệm thoả mãn nguyên dương, chọn đáp án tối ưu.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Quên điều kiện$x, y \geq 0$hoặc chỉ lấy nghiệm thực, không lấy nghiệm nguyên.

Tính nhầm miền nghiệm, bỏ sót nghiệm nguyên.

Lẫn lộn giữa vai trò ràng buộc và hàm mục tiêu (tối ưu).

Không kết luận rõ ràng về ý nghĩa thực tế của kết quả.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Giải bài toán thực tế bằng hệ bất phương trình là kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán tối ưu trong điều kiện cho trước.
- Các bước chính: xác định biến, lập hệ bất phương trình ràng buộc, lập hàm mục tiêu, tìm miền nghiệm, kiểm tra từng giá trị khả dĩ, trả lời câu hỏi thực tế.
- Khi làm bài: chú ý điều kiện nghiệm nguyên và không âm, đọc kỹ yêu cầu thực tế.
- Thành thạo kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các đề thi và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.