1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, học sinh được học về các bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Việc giải hệ bất phương trình này không chỉ thực hiện bằng biến đổi đại số mà còn có thể giải quyết bằng phương pháp hình học. Cách tiếp cận này giúp học sinh hình dung trực quan các miền nghiệm, rèn luyện tư duy logic và kỹ năng phân tích không gian – kỹ năng quan trọng cho các chương trình học cao hơn và ứng dụng thực tế.

2. Định nghĩa chính xác về giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng biểu diễn hình học

• Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp các bất phương trình như vậy.

• Biểu diễn hình học là cách biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ, từ đó xác định giao của các miền nghiệm – chính là tập nghiệm của hệ.

3. Hướng dẫn từng bước giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng biểu diễn hình học

Bước 1: Biến mỗi bất phương trình thành đường thẳng tương ứng

Cho bất phương trình:$ax + by + c > 0$thì đường thẳng$ax + by + c = 0$chia mặt phẳng thành hai miền.

Bước 2: Xác định miền nghiệm tương ứng.

Chọn một điểm thử (thường là $O(0, 0)$nếu không nằm trên đường thẳng), thay tọa độ vào bất phương trình để xác định nửa mặt phẳng chứa nghiệm.

Bước 3: Vẽ miền nghiệm từng bất phương trình và tìm giao.

Phần giao nhau giữa các miền nghiệm là nghiệm của hệ bất phương trình.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình và biểu diễn miền nghiệm hình học:

• Bước 1: Vẽ các đường$2x + y = 4$và $x - y = 1$.
• Bước 2: Xác định miền nghiệm từng bất phương trình:
- Với$2x + y \leq 4$: Thử điểm$O(0, 0)$vào$2x + y = 4 \Rightarrow 0 \leq 4$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa$O$.
- Với$x - y \geq 1$: Thử $O(0,0)$vào$x - y = 1 \Rightarrow 0 - 0 = 0$không thỏa mãn nên miền nghiệm không chứa gốc tọa độ.
• Bước 3: Giao nhau của hai miền là tập nghiệm hệ bất phương trình.

Học sinh có thể vẽ trực tiếp trên hệ trục$Oxy$, tô đậm miền nghiệm bằng các ký hiệu hoặc màu sắc khác nhau để nhận biết.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng biểu diễn hình học

- Nếu hai đường thẳng song song, hệ có thể vô nghiệm hoặc có miền nghiệm là dải giữa hai đường thẳng.
- Nếu hai đường thẳng trùng nhau, lưu ý miền nghiệm là một nửa mặt phẳng hoặc toàn bộ mặt phẳng.
- Với bất đẳng thức không chứa$x$hoặc$y$, biên của miền nghiệm là một đường song song với trục tung hoặc trục hoành.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Kỹ thuật này liên quan đến kiến thức về hệ trục tọa độ, đường thẳng, nửa mặt phẳng trong hình học.
• Kỹ năng này đóng vai trò nền tảng cho phần học về lập trình tuyến tính (giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm mục tiêu dưới các ràng buộc bất phương trình).

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Giải và biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình:

- Đường$x + 2y = 2$. Thử $O(0, 0) \Rightarrow 0 + 0 = 0 < 2$nên nghiệm là phía không chứa gốc tọa độ (vì bất phương trình là ">").

- Đường$2x - y = 4$. Thử $O(0,0) \Rightarrow 2.0 - 0 = 0 < 4$, kiểm tra bất phương trình " \leq ", nghiệm phía chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm là giao nhau của hai nửa mặt phẳng nói trên (loại trừ đường$x + 2y = 2$do dấu ">", kể cả biên đường$2x - y = 4$vì có dấu " \leq ").

Đáp số: Miền nghiệm được tô màu là phần nằm phía trên đường$x + 2y = 2$(không kể biên) và phía dưới hoặc trên đường$2x - y = 4$tùy thuộc miền nghiệm xác định được trên hình vẽ.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên xét điều kiện lấy dấu "=": Khi vẽ miền nghiệm, với "<" hoặc ">" thì không lấy đường biên, với dấu " \leq " hoặc " \geq " thì lấy cả đường biên.
- Xác định sai miền nghiệm do thử sai điểm kiểm tra. Hãy thử điểm đơn giản như $O(0, 0)$nếu được.
- Khi có nhiều bất phương trình, không tô đúng phần giao của các miền nghiệm.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình qua đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
- Luôn xác định miền nghiệm đúng bằng điểm kiểm tra.
- Tập nghiệm của hệ là giao các miền của từng bất phương trình.
- Đặc biệt chú ý dấu "=", dấu bỏ hoặc lấy biên khi tô miền nghiệm.

Luyện tập thường xuyên giúp rèn kỹ năng nhận diện miền nghiệm và phát triển tư duy hình học toán học. Phương pháp biểu diễn hình học cũng là nền móng quan trọng để học các chuyên đề mở rộng và các ứng dụng thực tiễn.