Blog

Lớp 10

Giải tam giác theo các trường hợp đã biết: Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí cho lớp 10

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Giải tam giác theo các trường hợp đã biết là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 (chương Hệ thức lượng trong tam giác). Đây là khái niệm giúp chúng ta tính được các yếu tố chưa biết của tam giác (cạnh, góc) khi biết trước một số đại lượng nhất định.

Nắm vững chủ đề này rất quan trọng vì nó không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học phẳng mà còn có nhiều ứng dụng thực tế: đo đạc đất đai, thiết kế công trình, dẫn hướng trong bản đồ,... Bạn cũng dễ dàng bắt gặp dạng toán này trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi và các tình huống thực tiễn.

Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập Giải tam giác theo các trường hợp đã biết miễn phí, giúp ghi nhớ kiến thức, nâng cao kỹ năng và tự tin khi làm bài.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Giải tam giác là xác định tất cả các cạnh và góc của tam giác khi biết một số yếu tố ban đầu (ba cạnh, hai cạnh và một góc, hai góc và một cạnh, ...).

- Các định lý và tính chất quan trọng:
+ Định lý sin: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
+ Định lý cosin: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A (và các công thức tương tự cho các cạnh khác)

- Điều kiện áp dụng: Tùy từng trường hợp đã biết, ta áp dụng các định lý phù hợp. Ví dụ: Định lý sin dùng khi biết hai góc và một cạnh hoặc hai cạnh và một góc đối diện. Định lý cosin dùng khi biết ba cạnh hoặc hai cạnh, góc xen giữa.

- Giới hạn:Chỉ áp dụng cho tam giác phẳng và đủ các điều kiện hình thành tam giác (tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại, tổng ba góc bằng180∘180^\circ,...).

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần thuộc lòng:

+ Định lý sin: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
+ Định lý cosin: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
+ Công thức tổng ba góc: A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ
+ Tính cạnh qua góc và hai cạnh: a=b2+c2−2bccos⁡Aa = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cos A}
+ Tính góc khi biết ba cạnh: cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Cách ghi nhớ công thức hiệu quả:

  • Làm nhiều bài tập áp dụng thực tế
  • Tạo sơ đồ tư duy hoặc bảng tóm tắt công thức
  • Tự kiểm tra công thức trước khi làm bài

    • Điều kiện sử dụng từng công thức:

  • Định lý sin: dùng khi biết hai góc và một cạnh (AAS, ASA) hoặc hai cạnh và góc đối diện (SSA).
  • Định lý cosin: dùng khi biết ba cạnh (SSS) hoặc hai cạnh và góc xen giữa (SAS).

    • Các biến thể của công thức: Định lý cosin có thể viết cho các cạnh khác nhau, định lý sin có thể chuyển đổi vị trí cạnh - góc tùy từng bài toán.

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Bài toán: Cho tam giácABCABCcó A=60∘A = 60^\circ,B=50∘B = 50^\circ,a=BC=8cma = BC = 8cm. Tính các cạnhb,cb, c.

  • Bước 1: Tính góc còn lạiCC:
    C=180∘−A−B=180∘−60∘−50∘=70∘C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 50^\circ = 70^\circ
  • Bước 2: Áp dụng định lý sin:
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C<br>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} <br>\frac{8}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 50^\circ} = \frac{c}{\sin 70^\circ}<br>Từđoˊ:<br>b=8⋅sin⁡50∘sin⁡60∘≈8⋅0.76600.8660≈7.08(cm)<br>Từ đó:<br> b = 8 \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 8 \cdot \frac{0.7660}{0.8660} \approx 7.08 (cm)
    c=8⋅sin⁡70∘sin⁡60∘≈8⋅0.93970.8660≈8.68(cm)c = 8 \cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 8 \cdot \frac{0.9397}{0.8660} \approx 8.68 (cm)
  • Lưu ý: Luôn kiểm tra lại phép tính và điều kiện tam giác (tổng ba góc =180∘180^\circ)

    • 3.2 Ví dụ nâng cao

    Bài toán: Cho tam giácABCABCvớia=10a = 10,b=7b = 7,c=5c = 5. Tính các gócA,B,CA, B, C.

  • Áp dụng định lý cosin choAA:
    a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
    cos⁡A=b2+c2−a22bc=49+25−1002×7×5=−2670≈−0.3714\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{49 + 25 - 100}{2 \times 7 \times 5} = \frac{-26}{70} \approx -0.3714
    A≈arccos(−0.3714)≈112∘A \approx \\arccos(-0.3714) \approx 112^\circ
  • Tương tự, tính gócBB:
    cos⁡B=a2+c2−b22ac=100+25−492×10×5=76100=0.76\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{100 + 25 - 49}{2 \times 10 \times 5} = \frac{76}{100} = 0.76
    B≈arccos(0.76)≈40.5∘B \approx \\arccos(0.76) \approx 40.5^\circ

    Cuối cùng,C=180∘−A−B≈27.5∘C = 180^\circ - A - B \approx 27.5^\circ.
  • Kỹ thuật giải: Ghi nhớ biến thể công thức và kiểm tra đáp số hợp lý.

    • 4. Các trường hợp đặc biệt

  • Chú ý trường hợp SSA ('hai cạnh một góc không xen giữa') có thể sinh ra 0, 1, hoặc 2 tam giác thỏa mãn – gọi là "trường hợp lưỡng nghĩa". Luôn kiểm tra nghiệm.
  • Cạnh không đủ để tạo thành tam giác: kiểm traa+b>ca + b > c,a+c>ba + c > b,b+c>ab + c > atrước khi giải.
  • Liên hệ các kiến thức về tam giác vuông, tam giác đều, tam giác cân để giải nhanh một số trường hợp.

    • 5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Hiểu nhầm định nghĩa giải tam giác và điều kiện sử dụng công thức.
  • Nhầm lẫn giữa các trường hợp đã biết, chọn sai công thức.
  • Nên lập bảng phân loại trường hợp (AAS, SAS, SSS, SSA,...) để ghi nhớ.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Sai trong tính toán số học (nhập máy tính không đúng, làm tròn không hợp lý)
  • Lỗi cộng góc, không kiểm tra tổng ba góc bằng180∘180^\circ.
  • Gợi ý: Luôn kiểm tra lại phép tính, dùng máy tính cẩn thận.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập 42.226+ bài tập Giải tam giác theo các trường hợp đã biết miễn phí. Bạn không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi tiến độ, kiểm tra kết quả và cải thiện kỹ năng mỗi ngày.

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Nhớ các trường hợp đã biết để giải tam giác: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA.
  • Luôn kiểm tra tổng ba góc tam giác.
  • Ghi nhớ định lý sin, cosin và công thức tổng ba góc.
  • Làm nhiều bài tập luyện tập để tăng kỹ năng.
  • Checklist trước khi làm bài: xác định trường hợp đề bài cho, chọn công thức phù hợp, kiểm tra đáp số.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".