Giải thích chi tiết ‘Bài tập cuối chương III’ – Toán 10: Hàm số bậc hai và Đồ thị

1. Giới thiệu về ‘Bài tập cuối chương III’ và tầm quan trọng trong Toán 10

Trong chương trình Toán lớp 10, Chương III là một chương vô cùng trọng tâm xoay quanh chủ đề hàm số bậc hai, đồ thị hàm bậc hai và các tính chất liên quan. 'Bài tập cuối chương III' là tập hợp các dạng toán tổng hợp giúp học sinh ôn tập, củng cố và vận dụng toàn bộ kiến thức đã học trong chương vào thực tiễn giải toán. Việc nắm vững các dạng bài tập này không chỉ nâng cao năng lực tư duy mà còn là nền tảng vững chắc để học tốt các chương tiếp theo trong Đại số và Giải tích.

2. Định nghĩa chính xác: Bài tập cuối chương III là gì?

'Bài tập cuối chương III' là những bài toán tổng hợp về chủ đề ‘Hàm số bậc hai và Đồ thị’, thường bao gồm các dạng như xác định tập xác định, miền giá trị, vẽ đồ thị, xác định và phân tích các yếu tố đặc biệt trên đồ thị (đỉnh, trục đối xứng, hướng bề lõm...), giải phương trình bậc hai, lập bảng biến thiên, xác định tham số, bài toán cực trị, bài toán liên quan tới tương giao đồ thị, và các ứng dụng thực tế của hàm số bậc hai.

3. Các bước giải bài tập cuối chương III với ví dụ minh họa

Các bài tập thường đi qua những bước cơ bản như sau:

• Bước 1: Xác định dạng bài: Yêu cầu là vẽ đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến,...
• Bước 2: Phân tích hàm cho trước, viết dưới dạng chuẩn$y = ax^2 + bx + c$.
• Bước 3: Xác định các yếu tố đặc biệt: đỉnh đồ thị $(x_0, y_0)$với$x_0 = -\frac{b}{2a}$,$y_0 = f(x_0)$; trục đối xứng, hướng bề lõm, phương trình hoành độ giao điểm, v.v.
• Bước 4: Áp dụng các công thức giải nhanh, điều kiện có nghiệm, xét dấu tam thức bậc hai.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = 2x^2 - 4x + 1$.

- Hãy xác định đỉnh đồ thị, trục đối xứng, hướng bề lõm, và vẽ đồ thị hàm số.

Giải:

Hàm số có dạng$y = ax^2 + bx + c$với$a=2$,$b=-4$,$c=1$.

Đỉnh đồ thị:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$.

$y_0 = f(1) = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$

Vậy đỉnh$I(1, -1)$

Trục đối xứng:$x = 1$

Hướng bề lõm:$a = 2 > 0 \Rightarrow$parabola hướng lên.

Đồ thị đi qua điểm$C(0,1)$(hệ số tự do)

Ta vẽ nhanh parabola nhận$I(1, -1)$là đỉnh, trục đối xứng song song$Oy$ đi qua$x=1$, mở lên.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Một số chú ý quan trọng:

• Trường hợp$a=0$: Khi đó hàm số không còn là bậc hai mà là hàm bậc nhất, cần chuyển dạng bài.
• Nếu$\Delta = b^2 - 4ac = 0$: Parabola cắt Ox tại một điểm duy nhất (đỉnh nằm trên trục hoành).
• Nếu$\Delta < 0$: Đồ thị không cắt trục hoành.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

'Bài tập cuối chương III' liên quan mật thiết với các khái niệm như:

• Phương trình bậc hai một ẩn: Giải phương trình, xác định số nghiệm.
• Bảng biến thiên: Xác định chiều biến thiên theo giá trị $a$.
• Các bất phương trình bậc hai: Áp dụng xét dấu và miền nghiệm.
• Ứng dụng đạo hàm (trong các lớp sau) để tìm cực trị nhanh.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hàm số $y = -x^2 + 2x + 3$.

a) Xác định đỉnh, trục đối xứng, hướng bề lõm.

b) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số.

Giải:

a)$a = -1 < 0$nên đồ thị mở xuống. Đỉnh có:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1$.

$y_0 = f(1) = -(1)^2 + 2 \times 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$

Vậy đỉnh$I(1, 4)$, trục đối xứng$x=1$, đồ thị mở xuống.

b) Giá trị lớn nhất là $y_{max} = 4$tại$x=1$. Hàm không có giá trị nhỏ nhất (hàm nghịch biến ra$-\infty$khi$x \to \pm \infty$).

Bài 2: Giải phương trình$2x^2 - 4x + 1 = 0$.

$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8$

$x_1 = \frac{4 - \sqrt{8}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$,

$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 3: Xét dấu biểu thức$y = x^2 - 3x + 2$.

$x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1$hoặc$x=2$

Bảng xét dấu:
-$x < 1$:$y > 0$
-$1 < x < 2$:$y < 0$
-$x > 2$:$y > 0$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn dấu$a$, xác định hướng mở của parabola sai.
• Nhầm lẫn giữa trục đối xứng và tung độ đỉnh.
• Tính toán sai giá trị $x_0, y_0$.
• Vẽ đồ thị không chính xác vị trí các điểm đặc trưng.

8. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

• Luôn xác định rõ hệ số $a, b, c$và dạng chuẩn của hàm số bậc hai.
• Áp dụng thuần thục công thức tính đỉnh, trục đối xứng, hướng bề lõm.
• Xét dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình.
• Hiểu bản chất hình học thông qua đồ thị hàm số.

Hy vọng hướng dẫn này giúp các bạn hệ thống kiến thức vững chắc và vận dụng tốt vào các dạng bài tập cuối chương III môn Toán lớp 10!