1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm bậc nhất hai ẩn là một trong những khái niệm nền tảng của môn Toán lớp 10, đặt nền móng cho việc tìm hiểu về các loại hàm số và bất phương trình sau này. Việc hiểu rõ hàm bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh vận dụng linh hoạt trong việc giải hệ phương trình, biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, và tìm hiểu các ứng dụng thực tế như kinh tế, tối ưu hóa, lập kế hoạch,... Hàm bậc nhất hai ẩn cũng xuất hiện nhiều trong các đề thi học kỳ, thi THPT Quốc gia và một số bài toán thực tiễn trong cuộc sống hằng ngày.

Để giúp các bạn làm chủ chủ đề này, bài viết còn cung cấp cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 40.504+ bài tập đa dạng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa:
• Hàm bậc nhất hai ẩn là hàm số có dạng tổng quát:
  
  $$f(x, y) = a x + b y + c$$
  
  với $a$ , $b$ không đồng thời bằng$0$, $c$ thuộc tập số thực ig(\mathbb{R}\big) . Ở lớp 10, dạng thường gặp là bất phương trình hoặc phương trình:
  
  $$a x + b y + c = 0 \quad\text{hoặc}\quad a x + b y + c \leq 0, \geq 0, < 0, > 0$$
• Tính chất: Biểu diễn hình học của phương trình$a x + b y + c = 0$là một đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.
• Điều kiện áp dụng:$a$và $b$không đồng thời bằng$0$. Nếu$a = b = 0$thì hàm không còn là bậc nhất hai ẩn.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức cần thuộc:
  - Dạng tổng quát: $a x + b y + c = 0$hoặc$a x + b y + c \ \boxed{\star}$
  - Tìm đường thẳng qua hai điểm:
  Nếu qua$A(x_1; y_1), B(x_2; y_2)$thì phương trình:
  $(y_2 - y_1) x - (x_2 - x_1) y + (x_2 y_1 - x_1 y_2) = 0$
• Ghi nhớ công thức: Liên hệ với dạng$y = m x + n$khi$b <br> \neq 0$, hoặc chuyển về $x = h$khi$a = 0$.
• Điều kiện sử dụng:
  - Dạng$a x + b y + c = 0$cho mọi trường hợp đường thẳng.
  - Dạng$y = m x + n$dùng khi cô lập$y$ được (tức$b <br> \neq 0$).
  - Dạng$x = h$dùng khi$a \neq 0, b = 0$.
• Biến thể công thức: Có thể viết theo nhiều dạng tương đương để dễ giải phương trình hoặc bất phương trình.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Vẽ đường thẳng biểu diễn phương trình$2x - 3y + 6 = 0$trên mặt phẳng tọa độ.

• Bước 1: Đưa về dạng$y = m x + n$.
  $2x - 3y + 6 = 0 \Rightarrow 3y = 2x + 6 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + 2$
• Bước 2: Tìm hai điểm thuộc đường thẳng, ví dụ:
  Chọn$x = 0: y = 2$, điểm$A(0; 2)$
  Chọn$x = 3: y = \frac{2}{3} \cdot 3 + 2 = 4$, điểm$B(3; 4)$
• Bước 3: Vẽ đường thẳng qua hai điểm$A$,$B$.
• Lưu ý: Có thể chọn$y = 0$ để tìm thêm điểm nếu cần.

Như vậy, biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ xuất phát từ phương trình hàm bậc nhất hai ẩn.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho bất phương trình$x + 2y - 4 \leq 0$. Hãy xác định miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

• Bước 1: Xét đường thẳng$x + 2y - 4 = 0$.
  $o 2y = 4 - x \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 2$
• Bước 2: Vẽ đường thẳng$y = -\frac{1}{2}x + 2$.
  Chọn$x=0\to y=2$và $x=4\to y=0$: có hai điểm$(0;2)$và $(4;0)$.
• Bước 3: Xác định miền nghiệm$x + 2y - 4 \leq 0$là nửa mặt phẳng chứa các điểm$(x, y)$thỏa mãn bất đẳng thức.
  Thử điểm$O(0,0): 0 + 0 - 4 = -4 < 0$nên lấy nửa mặt phẳng chứa$O(0,0)$.
• Kỹ thuật nhanh: Thay$x=0, y=0$vào bất phương trình để xác định vùng nghiệm.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$a = 0$: Hàm chỉ phụ thuộc vào$y$, dạng$b y + c = 0 \rightarrow y = -\frac{c}{b}$, đường thẳng song song trục$Ox$.
• Nếu$b = 0$: Hàm chỉ phụ thuộc vào$x$, đường thẳng song song trục$Oy$.
• Nếu$c = 0$: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0,0)$.

Liên hệ: Hàm bậc nhất hai ẩn cũng là cơ sở cho các bài toán hệ phương trình, bài toán tuyến tính, bất đẳng thức hai biến,...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu nhầm hàm bậc nhất hai ẩn là hàm bậc nhất một ẩn.
  Cách tránh: Nhìn số biến, phải có cả $x$và $y$.
• Nhầm lẫn với phương trình bậc hai hai ẩn (số mũ lên 2).
  Cách tránh: Chú ý hệ số, chỉ được bậc 1 với từng biến.

5.2 Lỗi về tính toán

• Giải sai khi chuyển đổi giữa các dạng ($y = m x + n$,$a x + b y + c = 0$...).
• Tính toán sai khi tìm điểm cắt trục.
  Cách khắc phục: Luôn kiểm tra lại bằng cách thay ngược vào phương trình.

Kiểm tra kết quả bằng cách thế lại các giá trị vào phương trình và đối chiếu với miền nghiệm trên đồ thị.

6. Luyện tập miễn phí ngay

• Truy cập kho 40.504+ bài tập Hàm bậc nhất hai ẩn miễn phí, đa dạng cấp độ từ cơ bản đến nâng cao.
• Không cần đăng ký, làm bài trực tiếp ngay trên website.
• Theo dõi tiến độ học tập, xem đáp án và hướng dẫn chi tiết từng bước.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hàm bậc nhất hai ẩn là dạng$a x + b y + c=0$($a$,$b$không đồng thời bằng 0).
• Hiểu và vẽ được miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
• Luyện tập thường xuyên thông qua hệ thống bài tập miễn phí.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải và tránh các lỗi thường gặp.

Checklist ôn tập:
- Ôn lại khái niệm và các cách chuyển đổi dạng phương trình
- Luyện vẽ đồ thị, xác định miền nghiệm
- Làm bài tập đa dạng, tăng phản xạ xử lý bài toán

Chúc các bạn học tốt và luyện tập hiệu quả với chuyên đề Hàm bậc nhất hai ẩn nhé!