Giải thích chi tiết: Ứng dụng trong hình học (tính góc, độ dài) lớp 10

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Ứng dụng trong hình học (tính góc, độ dài)” là một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Đây là phần vận dụng kiến thức về vectơ, tích vô hướng, các định lý hình học để giải những bài toán thực tế tính chiều dài đoạn thẳng, khoảng cách giữa hai điểm, và xác định góc giữa các đường thẳng hoặc vectơ.

Việc hiểu rõ và thành thạo nội dung này sẽ giúp học sinh linh hoạt giải quyết các bài toán hình học, chuẩn bị nền tảng cho các môn học sau như lượng giác, hình học không gian. Bên cạnh đó, tính toán góc và độ dài cũng là kỹ năng áp dụng rất nhiều trong các vấn đề cuộc sống như xây dựng, thiết kế, bản đồ,...

Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập Ứng dụng trong hình học (tính góc, độ dài), không cần đăng ký!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• • Định nghĩa vectơ, độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$với$\vec{a} = (a_1, a_2)$
• • Góc giữa hai vectơ:$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
• • Khoảng cách giữa hai điểm: $d(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$
• • Tích vô hướng và tính chất:$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$
• • Các định lý liên quan: Định lý Pitago, định lý Cô-sin, định lý Sin.

Điều kiện áp dụng: Các công thức trên chỉ áp dụng cho hệ tọa độ Oxy với các điểm/vectơ xác định rõ tọa độ.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tính độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$khi$\vec{a}$là vectơ
  $$\\overrightarrow{AB}$$
• Công thức góc giữa 2 vectơ:$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
• Công thức khoảng cách giữa 2 điểm: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
• Định lý cô-sin:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
• Định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Cách ghi nhớ nhanh: Viết công thức ra giấy nháp và đọc to nhiều lần, luyện tập thường xuyên với các bài tập thực tiễn để nhớ lâu nhất.

Điều kiện sử dụng: Công thức chỉ áp dụng khi biết rõ tọa độ các điểm hoặc chiều dài các cạnh và góc trong tam giác.

Các biến thể của công thức: Sử dụng vectơ trong không gian (lớp 12), tổng hợp với lượng giác và các định lý vector.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho điểm$A(1;2)$và $B(4;6)$. Tính độ dài đoạn thẳng$AB$.

Giải:

1. Áp dụng công thức $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
2. $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Lưu ý: Luôn ghi nhớ thứ tự toạ độ và đặt vào công thức chính xác.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho tam giác$ABC$biết$A(0;0)$,$B(4;0)$,$C(2;3)$. Tính góc$ABC$.

Giải:

1. Tìm các vectơ $\overrightarrow{BA}$và $\overrightarrow{BC}$:
2. $\overrightarrow{BA} = (0-4, 0-0) = (-4, 0)$
3. $\overrightarrow{BC} = (2-4, 3-0) = (-2, 3)$
4. Tính tích vô hướng:$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4)(-2) + 0 \cdot 3 = 8$
5. Tính độ dài: $|\overrightarrow{BA}| = 4$, $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$
6. $\cos \theta = \frac{8}{4 \times \sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$
7. Tìm góc:
   $$\theta = \\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)$$
   .

Mẹo giải nhanh: Biết cách xác định đúng vectơ hướng, thực hiện lần lượt từng bước để tránh nhầm lẫn.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu các điểm trùng nhau: Độ dài bằng$0$.
• Nếu hai vectơ vuông góc: Tích vô hướng bằng$0$, góc$90^\circ$.
• Liên hệ: Vectơ song song khi tích chéo bằng$0$.

Xử lý trường hợp ngoại lệ: Kiểm tra kỹ điều kiện bài cho, chú ý không lấy căn bậc hai của số âm hoặc chia cho$0$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Sai định nghĩa vectơ, độ dài, tích vô hướng.
• Nhầm công thức tính khoảng cách với công thức tọa độ khác.
• Phân biệt: Độ dài là số không âm, vectơ có hướng.

5.2 Lỗi về tính toán

• Sai dấu khi tính hiệu tọa độ giữa hai điểm.
• Tính nhầm $\sqrt{a^2+b^2}$, quên dấu căn.
• Cách kiểm tra: Thay giá trị vào kiểm tra lại kết quả từng bước.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho 42.226+ bài tập Ứng dụng trong hình học (tính góc, độ dài) miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập và tự đánh giá kết quả ngay lập tức. Theo dõi tiến độ học tập dễ dàng và cải thiện kỹ năng qua từng bài!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nắm vững định nghĩa vectơ, độ dài, tích vô hướng.
• Thành thạo công thức tính khoảng cách, góc, tích vô hướng.
• Luôn kiểm tra lại kết quả tính toán.
• Thường xuyên luyện tập với các ví dụ thực tiễn.

Checklist ôn tập: Kiểm tra công thức cơ bản, luyện giải các bài toán mẫu, ghi nhớ các điều kiện đặc biệt và chuẩn bị tâm lý tự tin trước mỗi bài kiểm tra!