Hàm bậc hai là một khái niệm trọng tâm trong chương trình Toán lớp 10. Đây là nền tảng cho việc hiểu sâu về hàm số, đồ thị và các ứng dụng quan trọng trong đại số và thực tế. Hàm bậc hai thường xuất hiện trong các đề thi, bài kiểm tra, và còn có rất nhiều ứng dụng như tính toán trong chuyển động, kinh tế, vật lý,... Hiểu rõ hàm bậc hai giúp học sinh rèn luyện tư duy hệ thống, giải quyết được nhiều dạng bài toán phức tạp hơn. Để luyện tập và chinh phục chủ đề này, bạn có thể thử sức với 37.799+ bài tập miễn phí ngay trong bài viết này!

• Định nghĩa: Hàm bậc hai là hàm số có dạng tổng quát: $f(x) = ax^2 + bx + c$trong đó $a, b, c \in \mathbb{R}$và $a \neq 0$.

• Đồ thị hàm bậc hai là hình parabolcó trục đối xứng song song với trục$Oy$, đỉnh parabol và có thể hướng lên ($a > 0$) hoặc hướng xuống ($a < 0$).

• Tính chất xác định bởi hệ số $a$: Nếu$a > 0$, đồ thị hướng lên trên; nếu$a < 0$, đồ thị hướng xuống dưới.

• Đỉnh parabol có tọa độ: $\left( -\frac{b}{2a},\ \frac{-\Delta}{4a} \right)$với$\Delta = b^2 - 4ac$.

- Dạng chuẩn của hàm bậc hai:$y = a(x - x_0)^2 + y_0$, với$(x_0, y_0)$là tọa độ đỉnh.

- Trục đối xứng:$x = -\frac{b}{2a}$

- Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn: Xét giá trị tại các điểm biên và tại đỉnh parabol nếu nằm trong đoạn xét.

- Công thức nghiệm phương trình bậc hai:$ax^2 + bx + c = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac$

Nếu $\Delta > 0$: Có hai nghiệm phân biệt
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
Nếu $\Delta = 0$: Có nghiệm kép $x = \frac{-b}{2a}$
Nếu $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm thực.

- Cách ghi nhớ công thức: Soạn bảng tóm tắt, luyện giải bài tập hàng ngày để thuộc lòng.

Bài toán: Cho hàm số $y = 2x^2 - 4x + 1$. Hãy xác định tọa độ đỉnh và vẽ đồ thị của hàm số.

Giải:

+$a = 2$,$b = -4$,$c = 1$

+$x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$

+$y_{đỉnh} = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$

→ Đỉnh parabol là $M(1; -1)$.

Lưu ý: Nhớ kiểm tra dấu của$a$ để xác định hướng đồ thị.

Bài toán: Với hàm số $f(x) = -x^2 + 4x - 7$, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn$[0; 5]$.

Giải:

+$a = -1 < 0$, nên đồ thị hướng xuống dưới (giá trị nhỏ nhất sẽ nằm ở biên).

+ Tính giá trị tại$x = 0$:

$f(0) = -0^2 + 4 \times 0 - 7 = -7$

+ Tính tại$x = 5$:$f(5) = -25 + 20 -7 = -12$

+ Đỉnh:$x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times -1} = 2$(nằm trong đoạn$[0;5]$)

+$f(2) = -4 + 8 - 7 = -3$

→ Giá trị nhỏ nhất là $-12$tại$x=5$.

Lưu ý: Luôn kiểm tra vị trí đỉnh có thuộc đoạn xét hay không!

- Nếu$b = 0$, hàm có trục đối xứng qua$Oy$.

- Nếu$c = 0$, đồ thị đi qua gốc tọa độ.

- Hàm bậc hai luôn liên quan tới các chủ đề như "Giải phương trình bậc hai", "Hệ bất phương trình bậc hai", "Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số".

- Nhầm lẫn giữa hàm bậc hai và hàm bậc nhất. Mẹo: Đếm bậc của biến$x$!

- Nhầm dấu$a$làm sai hướng của parabol.

- Quên điều kiện$a \neq 0$.

- Sai phép nhân, cộng trừ khi tính$x_{đỉnh}$,$y_{đỉnh}$hay$\Delta$.

- Quên kiểm tra điều kiện nghiệm khi giải phương trình bậc hai.

Cách kiểm tra kết quả: Thay nghiệm vào phương trình/bài toán để kiểm tra lại.

Bạn có thể truy cập kho 37.799+ bài tập Hàm bậc hai miễn phí. Không cần đăng ký! Bắt đầu luyện tập ngay, theo dõi tiến độ, đánh giá và cải thiện kỹ năng giải toán của bạn chỉ với vài cú click!

+ Hàm bậc hai có dạng$f(x) = ax^2 + bx + c$, với$a \neq 0$
+ Đồ thị là parabol, xác định được đỉnh, trục đối xứng
+ Nhớ các công thức tính đỉnh, phân biệt dấu$a$
+ Luyện giải bài tập, chú ý các lỗi thường gặp
+ Kiểm tra, tự đánh giá sau mỗi bài tập để ghi nhớ sâu kiến thức.

Checklist trước khi làm bài: Định nghĩa, dạng đồ thị, công thức nghiệm, xác định đỉnh, kiểm tra điều kiện nghiệm, kiểm soát sai số tính toán.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Luyện tập đều đặn, làm đa dạng các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao, tham gia các buổi thảo luận nhóm hoặc hỏi đáp trực tuyến nếu cần.