1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Hàm khoảng cách

Trong chương trình Toán lớp 10, “Hàm khoảng cách” là một trong những khái niệm nền tảng, cực kỳ quan trọng giúp bạn hiểu sâu về hình học tọa độ và chuẩn bị cho các chủ đề nâng cao hơn sau này, như tọa độ Oxy, vector, và giải bài toán không gian. Hiểu rõ khái niệm này còn giúp bạn giải quyết các vấn đề thực tiễn như đo đạc, xác định vị trí, hoặc xử lý dữ liệu trên bản đồ.

Nếu bạn muốn thành thạo chủ đề này, hãy luyện tập với hơn 100+ bài tập Hàm khoảng cách miễn phí.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Hàm khoảng cách là công thức giúp tính độ dài đoạn thẳng nối giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Nếu hai điểm có tọa độ lần lượt là $A(x_1, y_1)$và $B(x_2, y_2)$thì khoảng cách giữa A và B ký hiệu là $d(A, B)$hoặc$AB$.

Các tính chất chính:

• Khoảng cách luôn không âm:$d(A, B) \geq 0$
• Khoảng cách giữa A và B bằng 0 khi A trùng B.
• Khoảng cách có tính đối xứng:$d(A, B) = d(B, A)$

Điều kiện áp dụng: Chỉ dành cho hai điểm trong mặt phẳng Oxy hoặc không gian. Trong không gian, cách tính có mở rộng thêm.

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức chính cần nhớ:

• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

$d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• Trong không gian Oxyz (mức độ cao hơn):

$d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Cách ghi nhớ: Hãy liên tưởng đến định lý Pythagoras, công thức này chỉ là áp dụng vào tọa độ điểm.

Các biến thể khác:

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc từ điểm đến mặt phẳng (nâng cao hơn).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hai điểm$A(2, 3)$và $B(6, 8)$. Tính khoảng cách giữa A và B.

Lời giải từng bước:

• Gắn$x_1 = 2$,$y_1 = 3$,$x_2 = 6$,$y_2 = 8$vào công thức.
• $d(A, B) = \sqrt{(6 - 2)^2 + (8 - 3)^2}$
• $d(A, B) = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$
• Khoảng cách giữa A và B là $\sqrt{41}$.

Lưu ý: Luôn trừ đúng thứ tự $x_2 - x_1$,$y_2 - y_1$, bình phương nên kết quả luôn dương.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho ba điểm$A(1,2)$,$B(3,5)$và $C(7,9)$. Tính tổng khoảng cách$AB + BC$.

Lời giải:

• Tính $AB = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$
• Tính $BC = \sqrt{(7-3)^2 + (9-5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32}$
• Tổng $AB + BC = \sqrt{13} + \sqrt{32}$

Kỹ thuật giải nhanh: Nếu các điểm tạo thành một đường thẳng, tổng khoảng cách là độ dài đoạn lớn nhất giữa điểm đầu và điểm cuối.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Hai điểm trùng nhau: Khoảng cách bằng 0.
- Hai điểm cùng nằm trên trục hoành (hoặc trục tung): Công thức rút gọn còn$|x_2 - x_1|$hoặc$|y_2 - y_1|$.
- Khoảng cách giữa điểm và trục tọa độ: Xét toạ độ và công thức chuyên biệt.

Mối liên hệ với các khái niệm khác: Hàm khoảng cách là nền tảng cho việc xác định độ dài vector, tính chu vi tam giác, hoặc giải các bài toán về hình tròn, elip…

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn tọa độ ($x_1$,$y_1$) và ($x_2$,$y_2$).
• Nhầm lẫn giữa khoảng cách và độ dài vector.
• Cố nhớ định nghĩa: Khoảng cách là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối hai điểm.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên bình phương hiệu tọa độ.
• Lỗi cộng trừ sai dấu.
• Không lấy căn bậc hai cuối cùng.
• Luôn kiểm tra kết quả bằng cách đóng vai trò ngược lại: đổi vị trí hai điểm, kết quả phải giống nhau.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay kho 100+ bài tập Hàm khoảng cách miễn phí, không cần đăng ký, làm bài tập và theo dõi tiến độ học tập từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nắm vững định nghĩa và công thức tính khoảng cách.
• Quan sát kỹ tọa độ các điểm trước khi thay vào công thức.
• Đọc kỹ yêu cầu đề để chọn công thức và cách làm phù hợp.
• Kiểm tra lại kết quả, đảm bảo logic và đúng công thức.

Checklist trước khi làm bài: Thuộc công thức, đọc kỹ đề, xác định đúng tọa độ, kiểm tra lại phép tính.

Kế hoạch ôn tập: Ôn lý thuyết, luyện tập đa dạng bài tập, giải bài minh họa, kiểm tra bằng phương pháp ngược lại (đổi vai trò 2 điểm).