1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm tan là một trong các hàm lượng giác quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, cùng với sin, cos và cotang. Việc hiểu rõ Hàm tan giúp học sinh dễ dàng giải các bài toán lượng giác, đồng thời củng cố nền tảng cho các lớp học cao hơn và cho các ngành khoa học kỹ thuật sau này. Trong đời sống thực tế, Hàm tan được áp dụng rất nhiều, nhất là trong đo đạc, xây dựng, kỹ thuật, vật lý và vẽ bản đồ. Học tốt hàm tan sẽ giúp bạn tự tin giải nhanh hàng trăm bài tập lẫn bài thi. Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.227+ bài tập Hàm tan ngay tại đây để củng cố kỹ năng một cách tốt nhất!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hàm tan của một góc$x$(ký hiệu là $\tan x$) là tỉ số giữa sin và cos của góc đó:
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$
- Ký hiệu:$\tan x$
- Miền xác định: Hàm tan xác định trên tập các góc$x$sao cho$cos x \neq 0$, tức là $x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi$,$k \in \mathbb{Z}$.
- Tính chất:
- Hàm tan là hàm tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, tức là $tan(x + \pi) = tan x$.
- Hàm tan là hàm lẻ:$tan(-x) = -tan(x)$.
- Giá trị của hàm tan có thể nhận mọi số thực.
- Giá trị của hàm tan không xác định với$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$($cos x = 0$).

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cơ bản:
1. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
2. $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$
3. $\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$
4. $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$
- Cách ghi nhớ: Kết hợp nhẩm bằng cách luôn đặt $tan$dưới dạng$\frac{sin}{cos}$giúp bạn đánh giá nhanh miền xác định và tính giá trị.
- Điều kiện sử dụng:
- Các công thức tổng, hiệu chỉ sử dụng khi mẫu số khác 0.
- Khi làm bài phải luôn nhớ loại trừ các giá trị $x$làm$cos x = 0$để tránh sai lầm.
- Biến thể: Có thể thay thế$<br />\sin,<br />\cos$ bằng giá trị tương ứng khi biết sẵn.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tính $\tan 45^\circ$.
Giải:
Ta biết:
$<br />\tan 45^\circ = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1<br />$
Lưu ý: Nhớ biến đổi tỉ lệ và kiểm soát tính đúng miền xác định.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Tính$\tan(75^\circ)$biết$\tan 45^\circ$và $\tan 30^\circ$.

Ta có, $75^\circ=45^\circ+30^\circ$:
$<br />\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ}<br />$
Thay số:
$\tan 45^\circ = 1$; $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$<br /> \Rightarrow \tan 75^\circ = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}<br /> <br />Rút gọn mẫu số:<br />$
1 - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}
$<br />Nên:<br /> <br />\tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}<br />$

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khi$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$($cos x = 0$), hàm tan không xác định (vô nghĩa, không có giá trị thực).
- Để kiểm tra miền xác định của bài toán, luôn kiểm tra mẫu số khác 0.
- Hàm tan liên hệ chặt chẽ với các hàm lượng giác khác:$\tan x = \cot(\frac{\pi}{2} - x)$,$\tan x = -\cot x$.
- Khi giải phương trình lượng giác liên quan đến$tan x$, cần chú ý chu kỳ của nó là $\pi$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai tan là tỉ số giữa sin và cos, nhầm lẫn với cot: $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
- Nhầm lẫn miền xác định của hàm tan với hàm sin/cos.
- Khi làm bài, nên nhẩm lại khái niệm và vẽ đường tròn lượng giác để phân biệt.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên điều kiện mẫu số khác 0 khi tính toán giá trị tan, dẫn đến kết quả sai hoặc "không xác định" nhưng vẫn ghi số.
- Nhầm lẫn thứ tự phép tính khi sử dụng công thức cộng (tổng, hiệu).
- Phương pháp kiểm tra: Sau khi làm bài, đặt lại giá trị vào công thức hoặc kiểm chứng bằng máy tính để loại bỏ lỗi sai.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.227+ bài tập Hàm tan miễn phí trên hệ thống.
- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.
- Hệ thống tự động theo dõi tiến độ học tập, giúp cải thiện kỹ năng hiệu quả.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Ghi nhớ định nghĩa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, loại trừ các giá trị khiến $cos x = 0$.
- Nắm chắc công thức tổng - hiệu - nhân đôi và điều kiện sử dụng.
- Checklist trước khi làm bài:
1. Kiểm tra điều kiện xác định.
2. Xác định góc đặc biệt nếu có.
3. Nhớ các công thức tan tổng, tan hiệu, tan 2x.
4. Soát lại kết quả bằng máy tính hoặc đổi ngược về công thức cơ bản.
- Kế hoạch ôn tập:
- Học lý thuyết kết hợp làm bài tập mức cơ bản đến nâng cao.
- Kiểm tra lại các lỗi thường gặp.
- Luyện tập nhiều bài để thành thạo kỹ năng nhận biết và xử lý Hàm tan.