Hàm tổ hợp C(n, k) – Khái niệm, công thức và ứng dụng (Dành cho học sinh lớp 10)

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm tổ hợp$C(n, k)$(còn gọi là "số tổ hợp" hay "toán tổ hợp chọn k phần tử từ n phần tử") là một khái niệm cơ bản, xuất hiện sớm trong chương trình Toán lớp 10. Việc hiểu rõ hàm tổ hợp không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài toán tổ hợp, xác suất, mà còn là nền tảng để hiểu sâu hơn về các bài toán thực tiễn như: lập nhóm, tính xác suất, lập kế hoạch, phân chia tài nguyên, v.v.

Vì sao bạn cần nắm vững khái niệm này? Bởi hàm tổ hợp C(n, k) không chỉ xuất hiện trong đề kiểm tra, thi học kỳ, mà còn ứng dụng rất rộng trong lập trình, nghiên cứu khoa học, thậm chí trong quản lí và đời sống hàng ngày.

Bạn có cơ hội luyện tập hoàn toàn MIỄN PHÍ với hơn 42.226+ bài tập hàm tổ hợp C(n, k) để thành thạo kiến thức.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Khái niệm: Số tổ hợp$C(n, k)$là số cách chọn ra$k$phần tử từ $n$phần tử mà không quan tâm đến thứ tự.
• Ký hiệu:$C(n, k), \C^k_n, \ {n \choose k}$ đều có ý nghĩa giống nhau.
• Giới hạn:$0 \leq k \leq n,$trong đó $n$và $k$là các số nguyên không âm.

Tính chất cơ bản:$C(n, 0) = C(n, n) = 1$;$C(n, k) = C(n, n-k)$;$C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)$

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tính cơ bản:$C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$
• Công thức suy rộng:$C(n, k) = C(n, n-k)$
• Công thức truy hồi:$C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)$
• Kỹ thuật nhớ công thức: Luôn nhớ $n!$là tích từ $1$ đến$n$, đặt$k$và $n-k$xuống mẫu.

Lưu ý: Chỉ áp dụng được nếu$n$là số nguyên không âm và $0 \leq k \leq n$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Có 5 bạn trong lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để lập một nhóm?

Lời giải: Áp dụng công thức số tổ hợp:

$C(5,2) = \frac{5!}{2!\times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$

• Bước 1: Xác định n = 5, k = 2
• Bước 2: Tính các giai thừa 5!, 2! và 3!
• Bước 3: Thay số vào công thức và rút gọn

Lưu ý: Không quan tâm đến thứ tự chọn nhóm.

3.2 Ví dụ nâng cao

Có 8 học sinh giỏi, trong đó chỉ có 2 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 5 người có ít nhất 1 nữ?

Giải: Tổng số cách chọn 5 người bất kỳ:$C(8,5) = 56$

Số cách chọn 5 người toàn nam (6 nam):$C(6,5) = 6$

Số cách chọn có ít nhất 1 nữ:$C(8,5) - C(6,5) = 56 - 6 = 50$

Lưu ý: Phải xét bổ sung điều kiện để tránh lặp hoặc bỏ sót.

4. Các trường hợp đặc biệt

• $C(n, 0)$: Chọn 0 phần tử từ n phần tử, luôn bằng 1 (chỉ có 1 cách là không chọn gì).
• $C(n, n)$: Chọn hết n phần tử, cũng chỉ có 1 cách.
• $C(n, 1) = n$;$C(n, n-1) = n$; có quan hệ với hoán vị và chỉnh hợp.

Mối liên hệ với hoán vị:$C(n, k) = \frac{A(n, k)}{k!}$, với$A(n, k)$là chỉnh hợp.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp (chỉnh hợp quan tâm thứ tự, tổ hợp thì không).
• Viết sai dạng công thức, nhầm vị trí k và n.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên xác định đúng k và n.
• Lỗi tính giai thừa (ví dụ:$0! = 1$).
• Không kiểm tra lại kết quả vừa tính, dễ nhầm khi thay số lớn.

Phương pháp kiểm tra nhanh kết quả: Thay các số nhỏ để thử lại công thức, sử dụng máy tính cầm tay hoặc phần mềm hỗ trợ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

• Truy cập ngay 42.226+ bài tập Hàm tổ hợp C(n, k) miễn phí.
• Không cần đăng ký, luyện tập trực tiếp trên nền tảng dễ sử dụng.
• Quản lý tiến độ học tập, xem thống kê và cải thiện kỹ năng từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• $C(n, k)$là số cách chọn$k$phần tử từ $n$phần tử, không quan tâm thứ tự.
• Công thức quan trọng:$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$,$C(n, k) = C(n, n-k)$, công thức truy hồi.
• Kiểm tra điều kiện$0 \leq k \leq n$trước khi tính toán.
• Nhớ các tính chất đặc biệt:$C(n, 0) = C(n, n) = 1$,$C(n, 1) = n$

Trước khi làm bài hãy rà lại checklist kiến thức trên và luyện dần từ dễ tới khó để thành thạo hàm tổ hợp.

Chúc các bạn học tốt bộ môn Toán 10 và sử dụng thành thạo Hàm tổ hợp C(n, k) trong mọi tình huống!