1. Giới thiệu và tầm quan trọng Hàm tổ hợpC ( n , k ) C(n, k) C ( n , k ) C ( n , k ) C(n, k) C ( n , k )
Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 150+ bài tập Hàm tổ hợp C(n, k) từ dễ đến khó ngay tại đây!
2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững 2.1 Lý thuyết cơ bản Định nghĩa: Hàm tổ hợpC ( n , k ) C(n, k) C ( n , k ) k k k n n n k k k n n n
Công thức tổ hợp:
C ( n , k ) = n ! k ! ⋅ ( n − k ) ! C(n, k) = \dfrac{n!}{k! \cdot (n - k)!} C ( n , k ) = k ! ⋅ ( n − k )! n !
Trong đó n ! n! n ! n n n n n n 0 ! = 1 0! = 1 0 ! = 1
Điều kiện áp dụng:0 ≤ k ≤ n 0 \leq k \leq n 0 ≤ k ≤ n n , k n, k n , k
2.2 Công thức và quy tắc Công thức cơ bản:C ( n , k ) = n ! k ! ( n − k ) ! C(n, k) = \dfrac{n!}{k!(n - k)!} C ( n , k ) = k ! ( n − k )! n ! Công thức đối xứng:C ( n , k ) = C ( n , n − k ) C(n, k) = C(n, n - k) C ( n , k ) = C ( n , n − k ) Công thức Pascal:C ( n , k ) = C ( n − 1 , k ) + C ( n − 1 , k − 1 ) C(n, k) = C(n - 1, k) + C(n - 1, k - 1) C ( n , k ) = C ( n − 1 , k ) + C ( n − 1 , k − 1 ) Công thức đặc biệt:C ( n , 0 ) = 1 C(n, 0) = 1 C ( n , 0 ) = 1 C ( n , n ) = 1 C(n, n) = 1 C ( n , n ) = 1 Cách ghi nhớ hiệu quả: Học thuộc định nghĩa, hiểu bản chất việc chọn, luyện tập nhiều bài tập bài toán thực tế để dễ nhớ công thức.
3. Ví dụ minh họa chi tiết 3.1 Ví dụ cơ bản Bài toán: Có 5 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 người đi dự thi? Giải:
Áp dụng công thức:C ( 5 , 2 ) = 5 ! 2 ! ⋅ 3 ! = 120 2 × 6 = 120 12 = 10 C(5, 2) = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = \dfrac{120}{12} = 10 C ( 5 , 2 ) = 2 ! ⋅ 3 ! 5 ! = 2 × 6 120 = 12 120 = 10
Kết luận: Có 10 cách chọn.
3.2 Ví dụ nâng cao Bài toán: Từ 8 học sinh, cần chia thành 2 đội. Mỗi đội 4 người. Có bao nhiêu cách chia?
Cách giải linh hoạt:C ( 8 , 4 ) C(8,4) C ( 8 , 4 )
Suy ra:C ( 8 , 4 ) 2 = 70 2 = 35 \dfrac{C(8,4)}{2} = \dfrac{70}{2} = 35 2 C ( 8 , 4 ) = 2 70 = 35
Lưu ý: Phải chú ý chia trường hợp bị trùng lặp (phân chia đội), áp dụng hình dung thực tế để tránh đếm sai.
C ( n , k ) = C ( n − 1 , k ) + C ( n − 1 , k − 1 ) C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1) C ( n , k ) = C ( n − 1 , k ) + C ( n − 1 , k − 1 ) $C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)$
với ví dụ cụ thể: C(5,2)=C(4,2)+C(4,1)=6+4=10" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
Tam giác Pascal từ hàng thứ 0 đến hàng thứ 6, minh họa công thức
C ( n , k ) = C ( n − 1 , k ) + C ( n − 1 , k − 1 ) C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1) C ( n , k ) = C ( n − 1 , k ) + C ( n − 1 , k − 1 ) $C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)$
với ví dụ cụ thể: C(5,2)=C(4,2)+C(4,1)=6+4=10
4. Các trường hợp đặc biệt Nếuk = 0 k = 0 k = 0 k = n k = n k = n C ( n , 0 ) = C ( n , n ) = 1 C(n, 0) = C(n, n) = 1 C ( n , 0 ) = C ( n , n ) = 1 Nếuk > n k > n k > n k < 0 k < 0 k < 0 C ( n , k ) = 0 C(n, k) = 0 C ( n , k ) = 0 Liên hệ với bài toán xác suất: Tổ hợp dùng để tính số trường hợp thuận lợi, tổng số trường hợp. Cần nhớ các trường hợp ngoại lệ, đặc biệt khik = 0 k = 0 k = 0 k = n k = n k = n k > n k > n k > n
5. Lỗi thường gặp và cách tránh 5.1 Lỗi về khái niệm Nhầm lẫn tổ hợp với chỉnh hợp, tức là có phân biệt thứ tự hay không. Ghi nhớ: Tổ hợp KHÔNG xét thứ tự. Hiểu sai cách đọc hoặc ký hiệu (C ( n , k ) C(n, k) C ( n , k ) k C < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m o s e p a r a t o r = " t r u e " > , < / m o > < m i m a t h v a r i a n t = " n o r m a l " > . < / m i > < m i m a t h v a r i a n t = " n o r m a l " > . < / m i > < m i m a t h v a r i a n t = " n o r m a l " > . < / m i > < m o s t r e t c h y = " f a l s e " > ) < / m o > < m i m a t h v a r i a n t = " n o r m a l " > . < / m i > < m i > H < / m i > < m o v e r a c c e n t = " t r u e " > < m i > a < / m i > < m o > < / m o > < / m o v e r > < m i > y < / m i > < m i > t < / m i > < m i > h < / m i > < m o v e r a c c e n t = " t r u e " > < m o v e r a c c e n t = " t r u e " > < m i > o < / m i > < m o > < / m o > < / m o v e r > < m o > ˊ < / m o > < / m o v e r > < m i > n < / m i > < m i > g < / m i > < m i > n < / m i > < m i > h < / m i > < m o v e r a c c e n t = " t r u e " > < m o v e r a c c e n t = " t r u e " > < m i > a < / m i > < m o > < / m o > < / m o v e r > < m o > ˊ < / m o > < / m o v e r > < m i > t < / m i > < m i > k < / m i > < m o v e r a c c e n t = " t r u e " > < m i > y < / m i > < m o > ˊ < / m o > < / m o v e r > < m i > h < / m i > < m i > i < / m i > < m t e x t > ệ < / m t e x t > < m i > u < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > , . . . ) . H a ~ y t h o ^ ˊ n g n h a ^ ˊ t k y ˊ h i ệ u < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1.2079 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m p u n c t " > , < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.1667 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > . . . < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m c l o s e " > ) < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > . < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.08125 e m ; " > H < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d a c c e n t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6679 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < / s p a n > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.35 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " a c c e n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.25 e m ; " > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > t < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > h < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d a c c e n t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.9579 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d a c c e n t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > o < / s p a n > < / s p a n > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " a c c e n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.1944 e m ; " > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.2634 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " a c c e n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.25 e m ; " > < s p a n c l a s s = " m o r d " > ˊ < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > n < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > g < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > n h < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d a c c e n t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.9579 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d a c c e n t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < / s p a n > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " a c c e n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.25 e m ; " > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.2634 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " a c c e n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.25 e m ; " > < s p a n c l a s s = " m o r d " > ˊ < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > t < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03148 e m ; " > k < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d a c c e n t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t v l i s t − t 2 " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p a n > < / s p a n > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " a c c e n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.1944 e m ; " > < s p a n c l a s s = " m o r d " > ˊ < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " v l i s t − s " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.1944 e m ; " > < s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > h i < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > ệ < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > u < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > C ( n , k ) ^ k C < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< m ose p a r a t or = " t r u e " > , < / m o >< mima t h v a r ian t = " n or ma l " > . < / mi >< mima t h v a r ian t = " n or ma l " > . < / mi >< mima t h v a r ian t = " n or ma l " > . < / mi >< m os t re t c h y = " f a l se " > ) < / m o >< mima t h v a r ian t = " n or ma l " > . < / mi >< mi > H < / mi >< m o v er a cce n t = " t r u e " >< mi > a < / mi >< m o > < / m o >< / m o v er >< mi > y < / mi >< mi > t < / mi >< mi > h < / mi >< m o v er a cce n t = " t r u e " >< m o v er a cce n t = " t r u e " >< mi > o < / mi >< m o > < / m o >< / m o v er >< m o > ˊ < / m o >< / m o v er >< mi > n < / mi >< mi > g < / mi >< mi > n < / mi >< mi > h < / mi >< m o v er a cce n t = " t r u e " >< m o v er a cce n t = " t r u e " >< mi > a < / mi >< m o > < / m o >< / m o v er >< m o > ˊ < / m o >< / m o v er >< mi > t < / mi >< mi > k < / mi >< m o v er a cce n t = " t r u e " >< mi > y < / mi >< m o > ˊ < / m o >< / m o v er >< mi > h < / mi >< mi > i < / mi >< m t e x t > ệ < / m t e x t >< mi > u < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > , ... ) . H a ~ y t h o ^ ˊ n g nh a ^ ˊ t k y ˊ hi ệ u < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1.2079 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m p u n c t " > , < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.1667 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > ... < / s p an >< s p an c l a ss = " m c l ose " > ) < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > . < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.08125 e m ; " > H < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d a cce n t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6679 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< / s p an >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.35 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " a cce n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.25 e m ; " >< s p an c l a ss = " m or d " > < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > t < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > h < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d a cce n t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.9579 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d a cce n t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > o < / s p an >< / s p an >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " a cce n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.1944 e m ; " >< s p an c l a ss = " m or d " > < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.2634 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " a cce n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.25 e m ; " >< s p an c l a ss = " m or d " > ˊ < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > n < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > g < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > nh < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d a cce n t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.9579 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d a cce n t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< / s p an >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " a cce n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.25 e m ; " >< s p an c l a ss = " m or d " > < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.2634 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " a cce n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.25 e m ; " >< s p an c l a ss = " m or d " > ˊ < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > t < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03148 e m ; " > k < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d a cce n t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t v l i s t − t 2" >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p an >< / s p an >< s p an s t y l e = " t o p : − 3 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " a cce n t − b o d y " s t y l e = " l e f t : − 0.1944 e m ; " >< s p an c l a ss = " m or d " > ˊ < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " v l i s t − s " > < / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.1944 e m ; " >< s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > hi < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > ệ < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > u < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > C ( n , k ) 5.2 Lỗi về tính toán Tính sai giai thừa, đặc biệt với số lớn. Quên chia chok ! k! k ! Không xác định điều kiện hợp lệ củak k k n n n Luôn kiểm tra lại kết quả với các trường hợp nhỏ để tránh sai sót. 6. Luyện tập miễn phí ngay Truy cập ngay bộ 150+ bài tập Hàm tổ hợp C(n, k) miễn phí!
7. Tóm tắt và ghi nhớ - Nắm vững định nghĩa, điều kiện áp dụng và các công thức của Hàm tổ hợp C(n, k)n ! n! n ! C ( n , k ) C(n, k) C ( n , k ) k = 0 k = 0 k = 0 k = n k = n k = n k > n k > n k > n
Kế hoạch ôn tập: Làm bài tập theo từng mức độ, mỗi ngày 15-20 bài, kiểm tra lại lý thuyết thường xuyên!
với ví dụ cụ thể: C(5,2)=C(4,2)+C(4,1)=6+4=10" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
Theo dõi chúng tôi tại