Giải thích chi tiết về Hàm trọng tâm – Toán lớp 10 (Có ví dụ minh họa)

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Hàm trọng tâm trong Toán lớp 10

Hàm trọng tâm là một khái niệm quan trọng trong chương trình hình học giải tích lớp 10. Việc hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ trọng tâm của tam giác – đây là nền tảng vững chắc để học tốt các chủ đề hình học tọa độ về sau.

Nếu bạn nắm chắc về hàm trọng tâm, bạn sẽ:

Hãy bắt đầu luyện tập ngay với 42.226+ bài tập Hàm trọng tâm miễn phí bên dưới để nắm chắc kiến thức nhé!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

Trọng tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến (đường thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện). Hàm trọng tâm xác định vị trí trọng tâm$G$dựa vào tọa độ 3 điểm$A(x_A, y_A)$,$B(x_B, y_B)$,$C(x_C, y_C)$.

- Trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$tính từ đỉnh.
- Trọng tâm luôn nằm trong tam giác.
- Tổng các vectơ từ trọng tâm đến ba đỉnh tam giác bằng 0:$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$

Chỉ áp dụng với tam giác (ba điểm không thẳng hàng). Không áp dụng với các trường hợp hình học khác như tứ giác, ngũ giác...

2.2. Công thức và quy tắc quan trọng

Toạ độ trọng tâm$G(x_G; y_G)$:

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

Lấy tổng hoành độ (x) ba đỉnh chia 3, lấy tổng tung độ (y) ba đỉnh chia 3.

Áp dụng cho tam giác bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ, ba điểm không thẳng hàng. Với tam giác trong không gian$ABC$có $z_A, z_B, z_C$thì trọng tâm là $z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1. Ví dụ cơ bản:

Bước 1: Viết toạ độ từng đỉnh:$A(1,2)$,$B(4,5)$,$C(7,2)$.
Bước 2: Áp dụng công thức:

$x_G = \frac{1+4+7}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$y_G = \frac{2+5+2}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Vậy trọng tâm$G(4,3)$.

3.2. Ví dụ nâng cao:

Áp dụng công thức:

$x_G = \frac{-2 + 4 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y_G = \frac{1 + (-3) + 5}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Trọng tâm$G(1,1)$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu tam giác cân, vuông, đều,... công thức tính trọng tâm không thay đổi.
- Nếu 2 điểm trùng nhau (không là tam giác), không xác định được trọng tâm.
- Nếu các đỉnh có toạ độ là số nguyên, trọng tâm chưa chắc là số nguyên.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1. Lỗi về khái niệm:

5.2. Lỗi về tính toán:

6. Luyện tập miễn phí ngay

Click vào đây để truy cập ngay 42.226+ bài tập Hàm trọng tâm miễn phí, không cần đăng ký! Bạn có thể luyện tập liên tục, xem đáp án chi tiết, và theo dõi tiến độ học tập, cải thiện kỹ năng một cách dễ dàng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Hãy lên kế hoạch ôn tập thường xuyên và sử dụng bảng checklist:

Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao với chuyên đề Hàm trọng tâm lớp 10!