1. Giới thiệu về hàm tuyến tính$F = ax + by$và tầm quan trọng trong Toán học lớp 10

Trong chương trình Toán lớp 10, khái niệm hàm tuyến tính xuất hiện rất sớm và đóng vai trò quan trọng không chỉ trong các bài toán đại số, mà còn là nền tảng để mở rộng sang các kiến thức cao hơn như hình học giải tích, hệ phương trình, hàm số nhiều biến,... Hàm tuyến tính có dạng tổng quát$F = ax + by$, trong đó $a, b$là hệ số thực,$x, y$là các biến số thực. Hiểu đúng và vận dụng thành thạo hàm tuyến tính giúp học sinh giải quyết được nhiều dạng bài tập quan trọng.

2. Định nghĩa chính xác hàm tuyến tính$F = ax + by$

Hàm tuyến tính hai biến$F = ax + by$là một hàm số có giá trị tại một điểm$(x, y)$bất kỳ được xác định bằng công thức:

Với:
-$a$và $b$là các số thực (có thể âm, dương hoặc bằng 0 nhưng không đồng thời đều bằng 0);
-$x$và $y$là biến số thực.

Đây là dạng đơn giản nhất của một hàm tuyến tính hai biến. Hàm này có đồ thị là một mặt phẳng trong không gian ba chiều (tọa độ $xOyF$). Nếu chỉ có một biến (ví dụ $F = ax$), đồ thị là một đường thẳng trên mặt phẳng.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử ta có hàm$F = 2x + 3y$:

• Bước 1: Xác định giá trị của$a$và $b$. Ở đây$a=2$,$b=3$.
• Bước 2: Thay giá trị cụ thể cho$x$và $y$. Ví dụ với$x=1$,$y=2$:

Khi đó:

Bước 3: Thay đổi giá trị của$x$hoặc$y$ để quan sát sự thay đổi của$F$.

• Nếu$x=0, y=5$thì $F(0, 5) = 0 + 3 \times 5 = 15$
• Nếu$x=-2, y=1$thì $F(-2, 1) = 2 \times (-2) + 3 \times 1 = -4 + 3 = -1$

Như vậy, giá trị của$F$thay đổi tuyến tính theo$x$và $y$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng hàm tuyến tính

- Trường hợp$a = 0$: Hàm biến thành$F = by$(hàm chỉ phụ thuộc vào$y$).
- Trường hợp$b = 0$: Hàm biến thành$F = ax$(hàm chỉ phụ thuộc vào$x$).
- Trường hợp$a = b = 0$: Hàm luôn có giá trị $0$, nên không còn là hàm tuyến tính hai biến thực thụ.

Lưu ý: Để hàm$F = ax + by$là hàm tuyến tính "thực sự", ít nhất một trong hai hệ số $a$hoặc$b$phải khác 0.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hai ẩn$x, y$thường xuất hiện trong các bài toán hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ($ax + by = c$).
- Đồ thị của$F = ax + by$không phải là đường thẳng trong mặt phẳng$xOy$, nhưng tập hợp các điểm$(x, y)$sao cho$F(x, y) = c$là một đường thẳng trong mặt phẳng$xOy$.
- Khi$F = ax + by + c$(thêm hằng số $c$), đây là hàm tuyến tính "thuộc loại tổng quát" và vẫn thường gặp trong các bài toán gép với hình học.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm$F = 4x - 5y$, tính$F(2, -1)$và $F(-3, 0)$.

Giải:

-$F(2, -1) = 4 \times 2 - 5 \times (-1) = 8 + 5 = 13$
-$F(-3, 0) = 4 \times (-3) - 5 \times 0 = -12 - 0 = -12$

Bài tập 2: Tìm$x, y$biết$F = 3x + 2y = 12$và $y = 2$.

Giải:

Thay$y = 2$vào phương trình:

$3x + 2 \times 2 = 12 \Rightarrow 3x + 4 = 12 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}$

Vậy nghiệm là $x = \frac{8}{3}$,$y = 2$.

Bài tập 3: Cho$F = k(x + y)$với$k$là hằng số. Nếu$F(1, 4) = 10$, hãy xác định giá trị $k$.

Giải:$F(1, 4) = k(1+4) = k \times 5 = 10 \Rightarrow k = 2$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên thay giá trị cả hai biến$x$và $y$vào công thức.
• Nhầm lẫn thứ tự dấu (+, -) giữa các hạng tử.
• Nhập sai hệ số $a$,$b$.
• Áp dụng sai ý nghĩa của$F = ax + by$(ví dụ khi$a = b = 0$thì hàm luôn bằng 0, cần phân biệt với trường hợp tổng quát).

Cách tránh: Đọc kỹ đề, kiểm tra lại phép thay thế, chú ý dấu và hệ số khi tính toán.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm tuyến tính hai biến có dạng tổng quát$F = ax + by$.
• Các hệ số $a, b$quyết định sự thay đổi của$F$theo từng biến.
• Các bài toán liên quan ứng dụng cho việc giải hệ phương trình, phân tích vectơ, và nhiều chủ đề sau này.
• Chú ý các trường hợp đặc biệt khi một hoặc cả hai hệ số $a, b$bằng 0.
• Hàm tuyến tính là kiến thức nền, rất cần luyện tập nhiều để thành thạo.