1. Giới thiệu: Sai số tuyệt đối và sai số tương đối là gì?

Trong quá trình học toán và thực hiện các phép đo trong thực tế, chúng ta thường phải đối mặt với những sai lệch giữa giá trị thực (đúng) và giá trị mà chúng ta đo được hoặc tính toán được. Những sai lệch này được gọi là sai số. Trong chương trình Toán lớp 10 và các cấp học cao hơn, nắm vững khái niệm sai số, đặc biệt là sai số tuyệt đối và sai số tương đối, rất quan trọng để đánh giá độ chính xác của kết quả và tránh các suy luận sai lầm trong quá trình học tập và nghiên cứu.

2. Định nghĩa chính xác các loại sai số

• Sai số tuyệt đối là gì?

Sai số tuyệt đối của một phép đo (hoặc tính toán) là độ lệch về giá trị tuyệt đối giữa giá trị đã đo (hoặc tính) và giá trị thực (hoặc giá trị đúng).

Ký hiệu:

Gọi$A$là giá trị đúng (hoặc giá trị thực),$a$là giá trị đo được (hoặc tính toán được):

Sai số tuyệt đối:$\Delta = |a - A|$

• Sai số tương đối là gì?

Sai số tương đối là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị đúng (thường dùng để so sánh độ lớn của sai số với chính giá trị đo lường đó).

Sai số tương đối:$\delta = \frac{|a-A|}{|A|}$

Thường người ta còn chuyển đổi sang phần trăm:$\delta\% = \delta \times 100\%$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một học sinh đo chiều dài của cuốn sách và kết quả nhận được là $a = 20.2 \ \text{cm}$. Chiều dài thực tế của cuốn sách là $A = 20 \ \text{cm}$. Hãy tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép đo này.

- Bước 1: Tính sai số tuyệt đối:$\Delta = |20.2 - 20| = 0.2 \ \text{cm}$

- Bước 2: Tính sai số tương đối:$\delta = \frac{0.2}{20} = 0.01$

- Bước 3: Chuyển đổi sang phần trăm:$\delta\% = 0.01 \times 100\% = 1\%$

Kết luận: Sai số tuyệt đối là $0.2\ \text{cm}$, sai số tương đối là 1%.

Ví dụ 2. Bạn cân một vật và được khối lượng$a = 500.5 \ \text{g}$. Khối lượng thực là $A = 500 \ \text{g}$. Hãy xác định tất cả các loại sai số.

Sai số tuyệt đối:$\Delta = |500.5-500| = 0.5\ \text{g}$

Sai số tương đối:$\delta = \frac{0.5}{500} = 0.001$(tức$0.1\%$)

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu giá trị đúng$A$rất lớn, sai số tuyệt đối có thể lớn nhưng sai số tương đối lại nhỏ, cho thấy phép đo vẫn có độ chính xác cao so với giá trị cần đo.

- Nếu$A$gần bằng 0, sai số tương đối sẽ rất lớn (hoặc không xác định), cần lưu ý khi áp dụng sai số tương đối trong trường hợp này.

- Luôn sử dụng giá trị tuyệt đối để đảm bảo sai số tuyệt đối và tương đối là các số không âm.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Các khái niệm sai số liên quan chặt chẽ đến phép tính gần đúng, làm tròn số, phép đo trong vật lý, hóa học, các phép tính sai số trong thống kê,...

• Trong các bài toán thực tế và các mô hình toán học, sai số tuyệt đối và sai số tương đối giúp ta ước lượng tính khả thi của kết quả và quyết định mức độ chấp nhận sai số.

• Trong thống kê, thống kê sai số cũng giúp kiểm tra độ tin cậy của kết quả thu thập.

6. Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một nhiệt kế chỉ nhiệt độ phòng là $a = 29.5^\circ\text{C}$. Nhiệt độ thực tế là $A = 30^\circ\text{C}$. Hãy tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối.

Lời giải:

Sai số tuyệt đối:$|a - A| = |29.5 - 30| = 0.5^\circ\text{C}$

Sai số tương đối:$\frac{0.5}{30} = 0.0167$

Sai số tương đối theo phần trăm:$0.0167 \times 100\% \approx 1.67\%$

Bài tập 2: Một người đo chiều dài sợi dây và ghi được$a = 999 \ \text{m}$, trong khi chiều dài thực tế là $A = 1000 \ \text{m}$. Xác định các loại sai số.

Sai số tuyệt đối:$|1000 - 999| = 1\ \text{m}$

Sai số tương đối:$\frac{1}{1000} = 0.001 = 0.1\%$

Bài tập 3: Một phép đo cho kết quả $a = 0.2$, giá trị thực$A = 0.1$. Hãy đánh giá sai số tương đối và nhận xét.

Sai số tuyệt đối:$|0.2-0.1| = 0.1$

Sai số tương đối:$\frac{0.1}{0.1} = 1 = 100\%$

Nhận xét: Sai số tương đối rất lớn, cho thấy phép đo rất thiếu chính xác.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên dùng giá trị tuyệt đối khi tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối, dẫn đến kết quả âm. Luôn phải lấy giá trị tuyệt đối.

- Nhầm lẫn giữa$A$(giá trị thực) và $a$(giá trị đo được/tính được) trong công thức.

- Bỏ sót đơn vị khi ghi sai số tuyệt đối (cần cùng đơn vị với giá trị đo được).

- Dùng sai sót tương đối khi$A$gần bằng 0. Trong trường hợp này, nên chỉ xét sai số tuyệt đối hoặc tìm các chỉ số khác đánh giá sai số.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Sai số tuyệt đối là độ chênh lệch về giá trị tuyệt đối giữa kết quả đo/tính và giá trị đúng.

- Sai số tương đối cho biết độ lớn của sai số tuyệt đối so với giá trị thực, thường được thể hiện bằng số thập phân hoặc phần trăm.

- Luôn lấy giá trị tuyệt đối, gắn đúng đơn vị và đặc biệt cẩn thận khi giá trị đúng gần 0.

- Việc hiểu và vận dụng tốt khái niệm sai số tuyệt đối, sai số tương đối sẽ giúp bạn xử lý các bài toán thực tế, toán đo lường, thống kê, vật lý,... một cách chính xác và khoa học hơn.