1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tính chất của phép nhân số với vectơ là một kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 10, thuộc chủ đề Vectơ. Việc nắm vững khái niệm này giúp bạn xử lý linh hoạt các bài toán hình học và đại số về vectơ; từ đó, xây dựng nền tảng vững chắc cho các chương sau. Khái niệm này không chỉ hữu ích trong học tập mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn như vật lý (biểu diễn lực), kỹ thuật, đồ họa máy tính,... Bạn còn có thể luyện tập miễn phí với hơn 40.504+ bài tập để rèn luyện kỹ năng!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Cho số thực$k$và vectơ $\vec{a}$, tích$k\vec{a}$là một vectơ cùng phương với$\vec{a}$. Độ dài$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$, hướng cùng hướng$\vec{a}$nếu$k > 0$và ngược lại nếu$k < 0$.
• Tính chất:

+$k \vec{a}$là vectơ cùng phương với$\vec{a}$.
+ Nếu$k = 0$,$k\vec{a}$là vectơ-không ($\vec{0}$).
+ Nếu$k > 0$,$k\vec{a}$cùng hướng$\vec{a}$; nếu$k < 0$,$k\vec{a}$ngược hướng$\vec{a}$.
+ Nếu$\vec{a}$là vectơ-không,$k\vec{a} = \vec{0}$với mọi$k$.

Điều kiện áp dụng:$k$là số thực,$\vec{a}$là vectơ bất kỳ; các tính chất chỉ đúng với phép nhân giữa số và vectơ.

2.2 Công thức và quy tắc

•$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$
•$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$(phân phối)
•$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$
•$k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}$
•$1\vec{a} = \vec{a}$;$-1\vec{a} = -\vec{a}$

Cách ghi nhớ: So sánh với phép nhân số thông thường, đặc biệt nhớ dấu giá trị tuyệt đối và hướng.

Các biến thể: gặp trong các bài toán dạng "tìm vectơ bằng phép nhân số" hoặc "biểu diễn vectơ qua các vectơ khác".

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho$\vec{a}$có độ dài$4$. Tìm độ dài của$-2\vec{a}$.

Giải:
$|-2\vec{a}| = |-2| \cdot |\vec{a}| = 2 \cdot 4 = 8$.

Vậy độ dài của$-2\vec{a}$là $8$. Lưu ý: hướng của$-2\vec{a}$ngược với$\vec{a}$!

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho$\vec{a}$và $\vec{b}$cùng phương,$|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 6$,$\vec{a}$cùng hướng$\vec{b}$. Hỏi có số $k$nào để $\vec{b} = k\vec{a}$không? Tính$k$.

Ta có $\vec{b}$cùng phương và cùng hướng với$\vec{a}$nên$\vec{b} = k\vec{a}$với$k > 0$.
$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = |<br /> k| \cdot 3 = 6 \Rightarrow |k| = 2$.
Do cùng hướng nên$k = 2$. Đáp số:$\vec{b} = 2\vec{a}$.

Kỹ thuật nhanh: so sánh độ dài và xét hướng của các vectơ dựa vào dấu của$k$.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$k = 0$:$k\vec{a} = \vec{0}$(vectơ-không), độ dài$0$.
• Nếu$\vec{a} = \vec{0}$:$k\vec{a} = \vec{0}$với mọi$k$.
• Khi$k < 0$:$k\vec{a}$ngược hướng$\vec{a}$.

Mối liên hệ: Phép nhân số với vectơ là cơ sở cho việc biểu diễn vectơ theo các vectơ khác, chứng minh hai vectơ cùng phương,...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai: Tưởng$k\vec{a}$là một phép nhân số thuần tuý, không xét hướng.
• Nhầm lẫn với cộng/trừ vectơ hoặc phép nhân vectơ với vectơ.
• Cách nhớ: Luôn kiểm tra hướng của$k\vec{a}$, không chỉ độ dài!

5.2 Lỗi về tính toán

• Bỏ giá trị tuyệt đối khi tính độ dài$|k\vec{a}|$.
• Quên xét dấu$k$khi xác định hướng.
• Kiểm tra kết quả: Luôn thử lại với số nhỏ hoặc vẽ hình minh hoạ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho bài tập với hơn 40.504+ bài luyện Tính chất của phép nhân số với vectơ miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập và kiểm tra tiến độ học nhanh chóng để nâng cao kỹ năng mỗi ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Tích số với vectơ thay đổi độ dài và có thể đổi hướng vectơ
• Công thức cần nhớ:$k\vec{a}$,$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$
• Kiểm tra hướng khi$k < 0$
• Ôn tập: Học chắc lý thuyết, làm nhiều bài tập, chú ý đặc biệt đến trường hợp đặc biệt và lỗi sai thường gặp.

Checklist kiến thức:
- Nắm rõ định nghĩa phép nhân số với vectơ
- Hiểu và vận dụng được các tính chất, công thức
- Phân biệt được với các phép toán khác trên vectơ
- Biết áp dụng linh hoạt vào bài toán hình học

Chúc bạn học tốt phần "Tính chất của phép nhân số với vectơ" và luyện tập chăm chỉ trên hệ thống bài tập miễn phí!