Blog

Lớp 10

Giải thích chi tiết về Tính chất của tích vô hướng – Lớp 10

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 10, "Tính chất của tích vô hướng" là một chủ đề quan trọng thuộc chương V: Vectơ. Đây là nền tảng cho việc giải các dạng bài toán về hình học không gian, lượng giác và các ứng dụng thực tế như vật lý, kỹ thuật. Việc nắm vững các tính chất này giúp bạn giải nhanh các bài toán vectơ, hiểu sâu bản chất tương tác giữa các đại lượng vector. Đặc biệt, việc luyện tập thường xuyên với hơn 42.226+ bài tập miễn phí sẽ giúp bạn củng cố lý thuyết và thành thạo kỹ năng vận dụng.

  • Giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa các vectơ trong không gian.
  • Áp dụng trong thực tế như tính góc giữa hai phương, công trong vật lý.
  • Hỗ trợ đắc lực trong học tập hình học, đại số và luyện thi.

    • 2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

    2.1 Lý thuyết cơ bản

    Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ a⃗\vec{a}và b⃗\vec{b}, ký hiệua⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}, là một số thực, được xác định bởi công thức:

    trong đó ∣a⃗∣|\vec{a}|,∣b⃗∣|\vec{b}|là độ dài hai vectơ,θ\thetalà góc giữa chúng (0≤θ≤180∘0 \leq \theta \leq 180^\circ).

  • Tích vô hướng trả về một giá trị thực, không phải vectơ.
  • Các vectơ vuông góc (θ=90∘\theta = 90^\circ) có tích vô hướng bằng 0.
  • Nếu hai vectơ cùng hướng (θ=0∘\theta = 0^\circ), tích vô hướng đạt giá trị lớn nhất.
  • Nếu hai vectơ ngược hướng (θ=180∘\theta = 180^\circ), tích vô hướng có giá trị âm lớn nhất.

    • Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng khi hai đối tượng đều là vectơ trong cùng một không gian.

    2.2 Công thức và quy tắc

  • Tích vô hướng tại toạ độ: Nếua⃗=(a1;a2)\vec{a} = (a_1; a_2),b⃗=(b1;b2)\vec{b} = (b_1; b_2)thì:
  • Tích vô hướng có tính chất: giao hoán, phân phối đối với phép cộng và nhân với số:

    • Mẹo ghi nhớ: Hãy liên tưởng phép nhân số với tích vô hướng, và luôn kiểm tra thứ tự các phép toán.

    Các biến thể: Một số bài toán nâng cao yêu cầu tính theo hệ trụcOxyzOxyzhoặc áp dụng trong không gian ba chiều.

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Ví dụ: Choa⃗=(2;3)\vec{a} = (2; 3),b⃗=(4;1)\vec{b} = (4; 1). Tínha⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}.

    Lời giải:

  • Áp dụng công thức:a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2
  • a⃗⋅b⃗=2×4+3×1=8+3=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = 11
  • Kết luận:a⃗⋅b⃗=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 11

    • Lưu ý: Luôn thay đúng các thành phần tương ứng của vectơ vào công thức để tránh sai sót.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Ví dụ: Chou⃗=(1;2;3),v⃗=(4;0;−1)\vec{u} = (1; 2; 3), \vec{v} = (4; 0; -1). Tìm góc giữau⃗\vec{u}và v⃗\vec{v}.

  • Bước 1: Tínhu⃗⋅v⃗=1×4+2×0+3×(−1)=4+0−3=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 4 + 2 \times 0 + 3 \times (-1) = 4 + 0 -3 = 1
  • Bước 2: ∣u⃗∣=12+22+32=14|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}, ∣v⃗∣=42+02+(−1)2=17|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}
  • Bước 3: cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣=114×17\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{1}{\sqrt{14} \times \sqrt{17}}
  • Bước 4: Suy ra
    θ=arccos(1238)\theta = \\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{238}}\right)

    • Lưu ý: Áp dụng đúng các bước và công thức, kiểm tra kỹ lưỡng khi tính toán căn bậc hai và phân số.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • Nếu một trong hai vectơ là 0⃗\vec{0}thì tích vô hướng luôn bằng 0.
  • Nếua⃗\vec{a}vuông gócb⃗\vec{b}thì a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.
  • Tích vô hướng còn liên hệ đến cosin góc giữa 2 vectơ.

    • Xử lý ngoại lệ: Nếu gặp vectơ dạng tổng quát, hãy tách thành các thành phần và áp dụng công thức phù hợp.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Lẫn lộn giữa tích vô hướng (tích chấm) và tích có hướng (tích chéo!).
  • Quên tích vô hướng trả về số, không phải vectơ.
  • Nhầm thứ tự hoặc dấu trong công thức toạ độ.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Tính sai từng thành phần hoặc sai số mũ, căn bậc hai.
  • Thiếu kiểm tra lại kết quả cuối cùng, đặc biệt với dấu "âm" hoặc "dương".

    • Lời khuyên: Luôn kiểm tra lại số liệu và phép tính từng bước, làm nháp nếu cần.

    6. Luyện tập miễn phí ngay

    Hãy luyện tập với hơn 42.226+ bài tập Tính chất của tích vô hướng miễn phí trên hệ thống. Bạn không cần đăng ký, có thể bắt đầu luyện tập ngay. Sau mỗi bài, hệ thống sẽ hỗ trợ bạn theo dõi tiến độ học và cải thiện kỹ năng từng ngày.

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Tích vô hướng giúp xác định mối liên hệ (góc, độ dài, vuông góc) của 2 vectơ.
  • Nắm vững các công thức cơ bản, áp dụng linh hoạt vào bài tập.
  • Ôn tập, ghi nhớ tính chất: giao hoán, phân phối, tích với số.
  • Cẩn thận với các lỗi về dấu và căn bậc hai khi tính toán.

    • Checklist trước khi làm bài: Đã thuộc công thức? Biết điều kiện sử dụng? Đã luyện tập đủ các dạng?

    Kế hoạch ôn tập: Làm nhiều bài tập, kiểm tra lý thuyết sau mỗi chương, hỏi giáo viên hoặc tham gia học nhóm nếu có thắc mắc.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".