Blog

Lớp 10

Hàm bậc hai: Khái niệm, Tính chất và Cách giải cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về Hàm Bậc Hai và tầm quan trọng

Hàm bậc hai là một khái niệm nền tảng trong chương trình toán lớp 10 và có vai trò quan trọng trong đại số cũng như trong nhiều ứng dụng thực tiễn, từ vật lý, kinh tế đến kỹ thuật. Việc hiểu rõ về hàm bậc hai sẽ giúp các bạn giải tốt các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình, đồ thị hàm số, cũng như ứng dụng hiệu quả vào việc học tiếp các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa hàm bậc hai

Hàm bậc hai là hàm số dạng:

Trong đó: aa,bb,cclà các hằng số,a≠0a \neq 0. Hàm số này còn gọi là "hàm số bậc hai một biến".

3. Tính chất và đồ thị của hàm bậc hai

a. Dạng chuẩn và vai trò của các hệ số

Hàm bậc hai có thể được viết về dạng chuẩn (vertex form):

Ở đây,(x0,y0)(x_0, y_0)chính là đỉnh của đồ thị hàm số. Từ dạngf(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, có thể xác định:

  • Đỉnhx0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a},y0=f(x0)=−Δ4ay_0 = f(x_0) = -\frac{\Delta}{4a}, vớiΔ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.
  • Trục đối xứng:x=x0x = x_0
  • Nếua>0a > 0, đồ thị là một parabol hướng lên; nếua<0a < 0, parabol hướng xuống.

    • b. Ví dụ minh họa về đồ thị hàm bậc hai

    Ví dụ 1: Xét hàmf(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1. Ta xác định:

  • Hệ số a=2>0a = 2 > 0nên parabol hướng lên.
  • Đỉnh:x0=−−42×2=1x_0 = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1.
  • Giá trị đỉnh:y0=f(1)=2×12−4×1+1=−1y_0 = f(1) = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = -1.
  • Trục đối xứng:x=1x = 1.
  • Điểm cắt trụcyylà c=1c = 1.

    • Vẽ bảng biến thiên và đồ thị sẽ giúp quan sát rõ tính chất này.

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếub=0b = 0, hàm có dạngf(x)=ax2+cf(x) = ax^2 + c, đối xứng quax=0x = 0.
  • Nếuc=0c = 0, parabol đi qua gốc toạ độ O(0,0)O(0, 0).
  • Nếua=1a = 1, hình dạng parabol chuẩn nhất.

    • Lưu ý: Không được quên điều kiệna≠0a \neq 0! Vì nếua=0a = 0, hàm trở thành hàm bậc nhất.

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Hàm bậc hai liên quan chặt chẽ tới:

  • Phương trình bậc hai:ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, với nhiều ứng dụng trong tìm nghiệm và giải bài toán thực tế.
  • Bất phương trình bậc hai:ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0hay<0< 0,...
  • Đồ thị hàm số: nền tảng để học tiếp hàm bậc cao, hàm đặc biệt.

    • Các kỹ năng về hàm bậc hai giúp học tốt các chủ đề giải tích sau này như đạo hàm, khảo sát hàm số.

    6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài tập 1. Xác định đỉnh, trục đối xứng và vẽ sơ đồ đồ thị củay=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3

  • Bước 1: Xác định hệ số a=−1a = -1,b=2b = 2,c=3c = 3. Parabol hướng xuống vì a<0a < 0.
  • Bước 2: Tìm đỉnhx0=−22×−1=1x_0 = -\frac{2}{2 \times -1} = 1;y0=f(1)=−(1)2+2×1+3=−1+2+3=4y_0 = f(1) = -(1)^2 + 2 \times 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.
  • Bước 3: Đỉnh parabol là (1,4)(1, 4), trục đối xứngx=1x = 1. Điểm cắt trụcyylà c=3c = 3.

    • Bài tập 2. Cho hàmy=3x2−6x+2y = 3x^2 - 6x + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

    Ta có a=3>0a = 3 > 0, parabol hướng lên nên giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

  • x0=−−62×3=1x_0 = -\frac{-6}{2 \times 3} = 1.
  • y0=f(1)=3×12−6×1+2=3−6+2=−1y_0 = f(1) = 3 \times 1^2 - 6 \times 1 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1.

    • Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm là −1-1tạix=1x = 1.

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn giữa hàm bậc hai và hàm bậc nhất khia=0a = 0.
  • Bỏ qua dấu của hệ số aa, dẫn tới sai hướng đồ thị parabol.
  • Sai công thức tìm đỉnhx0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}.
  • Quên kiểm tra điều kiệna≠0a \neq 0trước khi áp dụng các tính chất.

    • Để tránh sai sót, cần viết rõ dạng hàm số và áp dụng đúng từng bước.

    8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Hàm bậc hai có dạngy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cvớia≠0a \neq 0.
  • Đồ thị là parabol, có đỉnh(x0,y0)(x_0, y_0)vớix0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}.
  • Nếua>0a > 0, parabol hướng lên; nếua<0a < 0, hướng xuống.
  • Luôn kiểm tra điều kiệna≠0a \neq 0 để tránh nhầm thành hàm bậc nhất.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".