Blog

Lớp 10

Hàm bậc hai là gì? Kiến thức trọng tâm, ví dụ chi tiết & luyện tập miễn phí

T
Tác giả
•
•4 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Hàm bậc hai

Hàm bậc hai là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 10 và được sử dụng xuyên suốt trong các cấp học tiếp theo. Việc hiểu rõ về hàm bậc hai giúp học sinh giải quyết các bài toán lý thuyết, bài tập thực hành, đồng thời áp dụng vào các vấn đề thực tiễn như dự báo, tối ưu hóa,… Hàm bậc hai còn là nền tảng để học các dạng bài phương trình, bất phương trình và ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, kinh tế.

Hiện tại, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 37.799+ bài tập Hàm bậc hai được chọn lọc sát với chương trình lớp 10 ngay tại đây, không cần đăng ký.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hàm bậc hai là hàm số có dạng phổ biến f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c(a≠0a \neq 0), vớiaa,bb,cclà các hằng số.

- Đồ thị của hàm bậc hai là một parabol.

- Nếua>0a > 0, parabol hướng lên trên; nếua<0a < 0, parabol hướng xuống dưới.

- Đỉnh parabol có tọa độ: (x0,y0)(x_0, y_0), vớix0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a},y0=f(x0)=−Δ4ay_0 = f(x_0) = -\frac{\Delta}{4a}, trong đó Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.

- Trục đối xứng của parabol:x=x0=−b2ax = x_0 = -\frac{b}{2a}.

- Hàm số bậc hai liên tục trênR\mathbb{R}(tập số thực).

2.2 Công thức và quy tắc

  • - Đỉnh parabol:x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a};y0=−Δ4ay_0 = -\frac{\Delta}{4a}.
  • - Biện luận về số nghiệm của phương trìnhax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0dùngΔ=b2−4ac\Delta = b^2-4ac:
  • NếuΔ>0\Delta > 0có 2 nghiệm phân biệt;Δ=0\Delta = 0có 1 nghiệm kép;Δ<0\Delta < 0vô nghiệm thực.
  • - Điều kiện để hàm số luôn dương hoặc luôn âm trênR\mathbb{R}:
  • *a>0,Δ<0a>0, \Delta < 0thì f(x)>0,∀x∈Rf(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}
  • *a<0,Δ<0a<0, \Delta < 0thì f(x)<0,∀x∈Rf(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R}

    • Cách ghi nhớ: Luôn tập trung nhận diện hệ số aa(chiều "mở" của parabol) và sử dụng công thức tính nhanhx0,y0x_0, y_0cho các bài toán về cực trị, đồ thị.

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Bài toán: Cho hàmf(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1. Hãy xác định đỉnh parabol và chiều mở của đồ thị.

    Giải:

  • - Hệ số a=2>0a=2 > 0nên parabol hướng lên trên.
  • - Tọa độ đỉnh:
  • x0=−−42⋅2=1x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1;
    y0=f(1)=2⋅12−4⋅1+1=2−4+1=−1y_0 = f(1) = 2 \cdot 1^2 -4 \cdot 1 +1 = 2 -4 +1 = -1
  • Vậy đỉnh parabol là (1,−1)(1, -1).

    • 3.2 Ví dụ nâng cao

    Bài toán: Cho hàmf(x)=−x2+2x−1f(x) = -x^2 + 2x - 1. Hãy xác định khoảng giá trị củaxxđểf(x)≥0f(x) \geq 0.

    Giải:

  • - Giải bất phương trình:−x2+2x−1≥0-x^2 + 2x - 1 \geq 0
  • ⇔x2−2x+1≤0x^2 - 2x + 1 \leq 0
  • ⇔(x−1)2≤0(x - 1)^2 \leq 0
  • ⇔x=1x = 1
  • Vậyf(x)≥0⇔x=1f(x) \geq 0 \Leftrightarrow x=1.

    • Lưu ý: Khi chuyển dấu bất phương trình, nhớ đổi chiều dấu nếu nhân/chia cả hai vế cho số âm.

    4. Các trường hợp đặc biệt

    - Nếub=0b=0, trục đối xứng là trụcOyOy.
    - Nếuc=0c=0, parabol đi qua gốc tọa độ.
    - KhiΔ=0\Delta=0, parabol tiếp xúc trục hoành tại một điểm duy nhất.

    Mối liên hệ với phương trình bậc hai: Hàm bậc hai giúp giải các bài toán về số nghiệm, cực trị, bất phương trình bậc hai.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Nhầm lẫn hàm bậc hai với hàm bậc nhất (y=ax+by=ax+b).
  • - Bỏ qua điều kiệna≠0a \neq 0.
  • - Để tránh, hãy luôn xác minh hệ số aatrước khi giải.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • - Tính saiΔ\Delta, nhầm dấu khi thế x0x_0,y0y_0.
  • - Áp dụng nhầm công thức cực trị, cực đại, cực tiểu.
  • - Kiểm tra lại kết quả bằng cách thế giá trị vào hàm số.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể bắt đầu luyện tập với hơn 37.799+ bài tập Hàm bậc hai miễn phí. Không cần đăng ký, hãy chọn chủ đề và bài tập yêu thích để củng cố kiến thức, theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng giải toán!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Hàm bậc hai có dạngf(x)=ax2+bx+c,a≠0f(x)=ax^2+bx+c, a \neq 0.
  • - Parabol hướng lên nếua>0a>0; hướng xuống nếua<0a<0.
  • - Đỉnh:x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}.
  • - Trục đối xứng:x=x0x = x_0.
  • - Luôn kiểm tra điều kiện và kết quả!

    • Check-list ôn tập: Định nghĩa – Công thức chính – Nhớ điều kiệna≠0a \neq 0– Nắm vững kỹ năng vận dụng công thức trong các tình huống đề bài.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".