Blog

Lớp 10

Hàm bậc hai: Lý thuyết, ví dụ và cách luyện tập miễn phí cho lớp 10

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm bậc hai là một trong những khái niệm then chốt trong chương trình Toán lớp 10 và xuyên suốt các lớp học sau này. Việc nắm vững hàm bậc hai không chỉ giúp bạn tự tin giải các bài toán về đồ thị, phương trình, bất phương trình mà còn nâng cao tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề trong thực tế.

Ứng dụng của hàm bậc hai rất đa dạng: từ các bài toán kinh tế, vật lý đến lập trình, mô hình hóa các hiện tượng thực tiễn. Việc hiểu rõ hàm bậc hai còn giúp bạn chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng như thi học kỳ, thi vào lớp 10 và thi THPT Quốc gia.

Bạn có thể bắt đầu luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập về hàm bậc hai để nâng cao kỹ năng ngay sau khi đọc xong bài viết này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Hàm bậc hai là hàm số có dạng tổng quát:

y=ax2+bx+c(a≠0)y = ax^2 + bx + c \\ (a \neq 0)

Trong đó a,b,ca, b, clà các hằng số,a≠0a \neq 0. Đồ thị của hàm bậc hai là một đường parabol.

Các tính chất chính:

  • + Nếua>0a > 0, parabol hướng lên trên; nếua<0a < 0, parabol hướng xuống dưới.
  • + Đỉnh parabol có tọa độ (−b2a;f(−b2a))\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right).
  • + Trục đối xứng:x=−b2ax = -\frac{b}{2a}.
  • + Hàm luôn xác định với mọix∈Rx \in \mathbb{R}.

    • Điều kiện áp dụng:a≠0a \neq 0. Nếua=0a = 0, hàm trở thành hàm bậc nhất.

    2.2 Công thức và quy tắc

    Danh sách công thức cần thuộc lòng:

  • + Định nghĩa hàm:y=ax2+bx+cy=ax^2 + bx + c
  • + Tọa độ đỉnh:xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a},yv=−Δ4ay_v = -\frac{\Delta}{4a}vớiΔ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
  • + Trục đối xứng:x=−b2ax = -\frac{b}{2a}
  • + Công thức nghiệm: x1=−b+Δ2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, x2=−b−Δ2ax_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
  • + Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phụ thuộc vàoaa

    • Cách ghi nhớ công thức: Ôn tập nhiều lần, ghi chép công thức ra giấy note dán xung quanh bàn học, luyện tập với các bài tập thực tế.

    Điều kiện sử dụng: Chỉ áp dụng công thức nghiệm khia≠0a \neq 0; sử dụngΔ\Delta để xác định số nghiệm của phương trình.

    Các biến thể: Hàm bậc hai có thể viết theo dạng đỉnhy=a(x−xv)2+yvy = a(x-x_v)^2 + y_vhoặc dạng tổng quáty=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho hàm số y=2x2−4x+1y = 2x^2 - 4x + 1. Hãy xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng và hướng của parabol.

    Giải từng bước:

  • -a=2>0a = 2 > 0nên parabol hướng lên trên.
  • -b=−4b = -4,c=1c = 1.
  • - Trục đối xứng:x=−−42×2=1x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1.
  • -yytạix=1x = 1:yv=2×12−4×1+1=−1y_v = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = -1
  • - Đỉnh parabol:(1,−1)(1, -1).

    • Lưu ý: Luôn kiểm tra giá trị aa để xác định hướng parabol.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Giải phương trình3x2−5x+2=03x^2 - 5x + 2 = 0và xác định xem hàm có cắt trục hoành tại mấy điểm.

    Áp dụng công thức nghiệm:

  • -a=3a=3,b=−5b=-5,c=2c=2
  • -Δ=(−5)2−4×3×2=25−24=1\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 25 - 24 = 1
  • -Δ>0\Delta > 0nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
  • -x1=5+16=1x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1,x2=5−16=23x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}.

    • Hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm:(1,0)(1, 0)và (23,0)(\frac{2}{3}, 0).

    Kỹ thuật giải nhanh: Luôn tínhΔ\Deltatrước để biết số nghiệm.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • - NếuΔ=0\Delta = 0, parabol tiếp xúc trục hoành.
  • - NếuΔ<0\Delta < 0, parabol không cắt trục hoành.
  • - Nếub=0b = 0, parabol đối xứng qua trụcOyOy.
  • - Nếuc=0c = 0, parabol đi qua gốc tọa độ.

    • Hàm bậc hai còn liên hệ chặt với các khái niệm như phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai, cực trị hàm số,...

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Nhầm lẫn giữa hàm bậc hai và các hàm bậc khác (ví dụ hàm bậc nhất hoặc bậc ba).
  • - Quên điều kiệna≠0a \neq 0.

    • Cách phân biệt: Luôn kiểm tra hệ số bậc haiaatrong hàm.

    5.2 Lỗi về tính toán

  • - Tính saiΔ\Deltahoặc thay sai số vào công thức nghiệm.
  • - Nhầm dấu cộng/trừ trong khi tính nghiệm.
  • - Không kiểm tra lại đáp án.

    • Cách tránh: Kiểm tra lại kết quả, đặt lại phép thế giá trị vào hàm để xác nhận đúng/nghiệm.

    6. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập kho 42.226+ bài tập Hàm bậc hai miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ học tập, cải thiện kỹ năng giải bài tập ngay lập tức.

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Hàm bậc haiy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c,a≠0a \neq 0
  • - Đồ thị là parabol, đỉnh và trục đối xứng xác định rõ ràng.
  • - Luôn nhớ kiểm tra hệ số aa, ghi nhớ các công thức quan trọng.
  • - Chuẩn bị checklist trước khi làm bài: định nghĩa, công thức, các trường hợp đặc biệt, kiểm tra đáp án cuối cùng.

    • Ôn luyện chăm chỉ, giải thật nhiều bài tập để thành thạo mọi dạng bài về hàm bậc hai!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".