1. Hàm cos và vai trò trong chương trình toán lớp 10

Hàm cos (ký hiệu là cosinus hoặc$\cos$) là một trong những hàm lượng giác quan trọng nhất trong toán học lớp 10. Nó thường xuất hiện trong các bài toán về tam giác, hình học tọa độ, hình học không gian, giải phương trình lượng giác và nhiều ứng dụng thực tế như vật lý, kỹ thuật, kiến trúc. Việc hiểu rõ về hàm cos sẽ giúp học sinh nắm vững nền tảng lượng giác, cũng như tạo điều kiện thuận lợi cho việc học các môn liên quan ở cấp cao hơn.

2. Định nghĩa hàm cos

Khái niệm hàm cos có thể được định nghĩa theo hai cách phổ biến: theo tam giác vuông và theo đường tròn lượng giác.

a) Định nghĩa qua tam giác vuông

Trong tam giác vuông, với một góc nhọn$\alpha$, hàm cos của góc$\alpha$ được định nghĩa là tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền:

Ví dụ: Xét tam giác vuông$ABC$với góc$A$vuông, góc$B = \alpha$, cạnh$AB = 3$,$AC = 4$,$BC = 5$. Khi đó:

b) Định nghĩa trên đường tròn lượng giác

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm$M$trên đường tròn lượng giác có bán kính$1$và tâm$O$. Nếu$M$tạo với tâm$O$góc$x$(với tia$OA$), thì hoành độ (tọa độ x) của điểm$M$chính là giá trị $\cos x$:

Cách hiểu này giúp mở rộng khái niệm$\cos$cho các góc không chỉ trong khoảng từ $0^\circ$ đến$90^\circ$mà còn cho mọi góc (dương, âm, lớn hơn$360^\circ$,...).

3. Minh họa ví dụ từng bước

Ví dụ 1: Tìm$\cos 60^\circ$.

1. Ta biết tam giác đều có các góc $60^\circ$ và nếu chia đôi sẽ được tam giác vuông với cạnh huyền là cạnh của tam giác đều ($2a$), cạnh đối và cạnh kề lần lượt là $a$và $a\sqrt{3}$.
2. Áp dụng định nghĩa: \cos 60^\circ = \frac{cạnh\kề}{cạnh\huyền} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}

Ví dụ 2: Tính$\cos 120^\circ$bằng đường tròn lượng giác.

1. $120^\circ$nằm ở góc phần tư thứ hai trên đường tròn lượng giác.
2. Hoành độ của điểm tương ứng là $-\frac{1}{2}$.
3. Vậy$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Một số giá trị đặc biệt của$\cos x$(bằng thuộc lòng):

• $\cos 0^\circ = 1$
• $\cos 90^\circ = 0$
• $\cos 180^\circ = -1$
• $\cos 270^\circ = 0$
• $\cos 360^\circ = 1$

Lưu ý: Hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ $360^\circ$(hay$2\pi$radian). Nghĩa là:$\cos(x + 360^\circ) = \cos x$.

5. Mối liên hệ của hàm cos với các khái niệm toán học khác

Hàm cos liên hệ mật thiết với các hàm lượng giác khác và nhiều kiến thức hình học, đại số:

• Liên hệ với hàm sin: $\sin^2x + \cos^2x = 1$ (hệ thức lượng giác cơ bản).
• Hàm cos là hàm chẵn:$\cos(-x) = \cos x$.
• Công thức cộng: $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$.
• Hàm cos được sử dụng trong định lý cosin:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính$\cos 45^\circ$.

Giải:

1. Tam giác vuông cân có góc nhọn$45^\circ$, hai cạnh góc vuông bằng nhau là $a$.
2. Cạnh huyền $= a\sqrt{2}$.
3. $\cos 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài tập 2: Chứng minh $\cos^2x + \sin^2x = 1$với$x=30^\circ$.

Giải:

1. $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
2. $\cos^2 30^\circ + \sin^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

Bài tập 3: Xác định góc$x$(trong khoảng$0^\circ$ đến$360^\circ$) biết$\cos x = -\frac{1}{2}$.

Giải:

1. Xem bảng giá trị đặc biệt, ta có $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$và $\cos 240^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. Vậy$x=120^\circ$hoặc$x=240^\circ$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa cạnh đối và cạnh kề khi làm việc với các tam giác vuông.
• Quên đổi giữa độ và radian khi sử dụng máy tính hoặc làm bài tập.
• Nhớ sai các giá trị đặc biệt như $\cos 30^\circ$,$\cos 60^\circ$,$\cos 90^\circ$.
• Không chú ý đến dấu của hàm cos ở các góc thuộc góc phần tư khác nhau (ví dụ: tại phần tư II và III,$\cos x$mang giá trị âm).

Cách tránh:

• Vẽ hình cẩn thận và xác định rõ các cạnh trong tam giác vuông.
• Ghi nhớ bảng giá trị lượng giác cơ bản.
• Làm quen với định nghĩa hàm cos trên đường tròn lượng giác.
• Kiểm tra lại chế độ độ/radian trước khi bấm máy tính.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm cos là tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền trong tam giác vuông hoặc là hoành độ điểm trên đường tròn lượng giác.
• $\cos x$có chu kỳ $360^\circ$(hay$2\pi$radian), là hàm chẵn.
• Một số giá trị đặc biệt:$\cos 0^\circ = 1$,$\cos 90^\circ = 0$,$\cos 180^\circ = -1$,$\cos 360^\circ = 1$.
• Hàm cos liên quan chặt chẽ với sin: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Nắm vững hàm cos là bước quan trọng để học tốt lượng giác, hình học và các môn khoa học tự nhiên khác. Hãy thực hành nhiều bài tập để ghi nhớ và hiểu sâu hơn về khái niệm này.