Blog

Hàm đồng biến là gì? Giải thích chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
9 phút đọc
Chia sẻ:
10 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm hàm đồng biến và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, "hàm đồng biến" là một khái niệm then chốt giúp học sinh hiểu sâu sắc về sự thay đổi của hàm số, đặc biệt khi tìm hiểu về các cực trị, bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số. Nắm vững khái niệm này giúp bạn giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong toán học lớp 10, 11 và các bậc học cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác của hàm đồng biến

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x)y = f(x)xác định trên tậpDD. Hàm f(x)f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng(a;b)D(a; b) \subset \neq Dnếu với mọix1,x2(a;b)x_1, x_2 \in (a; b)bất kỳ, nếux1<x2x_1 < x_2thì f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2).

Ta có thể viết lại điều kiện đồng biến như sau:

Nếux1<x2x_1 < x_2thì f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2).

Cách gọi khác: Hàm số còn được gọi là tăng hoặc tăng đơn điệu trên khoảng(a;b)(a; b).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử ta có hàm số f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3. Xét hai giá trị bất kỳ x1<x2x_1 < x_2.

Ta có:

f(x1)=2x1+3f(x_1) = 2x_1 + 3

f(x2)=2x2+3f(x_2) = 2x_2 + 3

x1<x2x_1 < x_2nên2x1<2x22x_1 < 2x_2, do đó 2x1+3<2x2+32x_1 + 3 < 2x_2 + 3.
=>f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2)với mọix1<x2x_1 < x_2.

Kết luận: Hàm số f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3đồng biến trên cảextRext{\mathbb{R}}.

Tương tự, xem xét hàmg(x)=x+1g(x) = -x + 1: Nếux1<x2x_1 < x_2thì g(x1)=x1+1>x2+1=g(x2)g(x_1) = -x_1 + 1 > -x_2 + 1 = g(x_2), nghĩa là g(x1)>g(x2)g(x_1) > g(x_2). Hàm này không đồng biến mà là nghịch biến.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Không nhất thiết hàm số phải đồng biến trên toàn tập xác định. Hàm có thể đồng biến trên một khoảng, nghịch biến trên khoảng khác.

• Nếuf(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2)chox1<x2x_1 < x_2, thì hàm số KHÔNG đồng biến cũng KHÔNG nghịch biến tại hai điểm này.

• Một hàm hằngy=cy = ckhông phải là hàm đồng biến cũng không phải là hàm nghịch biến.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Liên hệ với đạo hàm:
Hàm số f(x)f(x) đồng biến trên(a;b)(a; b)khi và chỉ khif(x)>0f'(x) > 0với mọix(a;b)x \in (a; b)(điều này học kỹ trong Giải tích lớp 11).

• Liên hệ với bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến được thể hiện rõ trên bảng biến thiên và đồ thị của hàm số.

• Liên hệ với cực trị: Các điểm bắt đầu/kết thúc của những khoảng đồng biến thường là các điểm cực đại, cực tiểu.

6. Bài tập mẫu về hàm đồng biến và lời giải chi tiết

Hình minh họa: Đồ thị hàm số f(x) = x², với đoạn (−∞,0) tô màu cam minh họa tính nghịch biến (ví dụ x₁=−2, x₂=−1 ⇒ 4>1) và đoạn (0,+∞) tô màu xanh minh họa tính đồng biến (ví dụ x₁=1, x₂=2 ⇒ 1<4).
Đồ thị hàm số f(x) = x², với đoạn (−∞,0) tô màu cam minh họa tính nghịch biến (ví dụ x₁=−2, x₂=−1 ⇒ 4>1) và đoạn (0,+∞) tô màu xanh minh họa tính đồng biến (ví dụ x₁=1, x₂=2 ⇒ 1<4).
Hình minh họa: Đồ thị hàm số f(x)=2x+3 với hai điểm P1(1,5) và P2(3,9), minh họa Δx=2 và Δy=4 để giải thích hệ số góc m=2
Đồ thị hàm số f(x)=2x+3 với hai điểm P1(1,5) và P2(3,9), minh họa Δx=2 và Δy=4 để giải thích hệ số góc m=2
Hình minh họa: Đồ thị hàm số g(x) = -x + 1 minh họa tính nghịch biến: với x₁ = -1 và x₂ = 1, ta có x₁ < x₂ nhưng g(x₁) = 2 > 0 = g(x₂)
Đồ thị hàm số g(x) = -x + 1 minh họa tính nghịch biến: với x₁ = -1 và x₂ = 1, ta có x₁ < x₂ nhưng g(x₁) = 2 > 0 = g(x₂)

Bài tập 1: Cho hàmf(x)=3x5f(x) = 3x - 5. Hỏi hàm số có đồng biến trênextRext{\mathbb{R}}không?

Lời giải:
Lấyx1<x2x_1 < x_2, ta có f(x1)=3x15<3x25=f(x2)f(x_1) = 3x_1 - 5 < 3x_2 - 5 = f(x_2)3x1<3x23x_1 < 3x_2. Vậy hàm đồng biến trênextRext{\mathbb{R}}.

Bài tập 2: Xét hàmg(x)=2x+4g(x) = -2x + 4. Hàm này có đồng biến trênextRext{\mathbb{R}}không? Giải thích.

Lời giải:
Lấyx1<x2x_1 < x_2, ta có g(x1)=2x1+4>2x2+4=g(x2)g(x_1) = -2x_1 + 4 > -2x_2 + 4 = g(x_2)2x1>2x2-2x_1 > -2x_2. Hàm này là nghịch biến trênextRext{\mathbb{R}}, không đồng biến.

Bài tập 3: Tìm điều kiện củaaa để hàmf(x)=ax+1f(x) = ax + 1 đồng biến trênextRext{\mathbb{R}}.

Lời giải:
x1<x2f(x1)<f(x2)\forall x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)
Tức là ax1+1<ax2+1ax1<ax2ax_1 + 1 < a x_2 + 1 \Leftrightarrow a x_1 < a x_2.
x1<x2x_1 < x_2, nên hàm đồng biến khia>0a > 0.

Bài tập 4: Xét hàmf(x)=x2f(x) = x^2. Hàm số này có đồng biến trên mọi khoảng không? Nếu không, xác định các khoảng đồng biến.

Lời giải:
Hàmf(x)=x2f(x) = x^2không đồng biến trênextRext{\mathbb{R}}.
- Trên(0;+)(0; +\infty), nếux1<x2x_1 < x_2thì x12<x22x_1^2 < x_2^2→ hàm đồng biến.
- Trên(;0)(-\infty; 0), nếux1<x2x_1 < x_2thì x12>x22x_1^2 > x_2^2→ hàm nghịch biến.
Kết luận: Hàmf(x)=x2f(x) = x^2 đồng biến trên(0;+)(0; +\infty).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn giữa đồng biến và nghịch biến. Hãy cẩn thận xét dấu của hệ số hoặc đạo hàm.
  • Không xác định đúng khoảng đồng biến, nhất là với các hàm bậc hai trở lên.
  • Lẫn lộn với trường hợp hàm hằng hoặc điểm mà f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Hàm đồng biến trên một khoảng khix1<x2f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).
  • Không phải hàm nào cũng đồng biến trên toàn bộ tập xác định.
  • Áp dụng kiến thức về đồng biến giúp xác định được cực trị, vẽ bảng biến thiên và đồ thị hàm số.
  • Luôn chú ý xét dấu hệ số và xác định đúng khoảng nghiên cứu.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".