Hàm đồng biến là gì? Giải thích chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập cho học sinh lớp 10
1. Giới thiệu về khái niệm hàm đồng biến và tầm quan trọng
Trong chương trình toán học lớp 10, "hàm đồng biến" là một khái niệm then chốt giúp học sinh hiểu sâu sắc về sự thay đổi của hàm số, đặc biệt khi tìm hiểu về các cực trị, bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số. Nắm vững khái niệm này giúp bạn giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong toán học lớp 10, 11 và các bậc học cao hơn.
2. Định nghĩa chính xác của hàm đồng biến
Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập. Hàm được gọi là đồng biến trên khoảngnếu với mọibất kỳ, nếuthì .
Ta có thể viết lại điều kiện đồng biến như sau:
Nếuthì .
Cách gọi khác: Hàm số còn được gọi là tăng hoặc tăng đơn điệu trên khoảng.
3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa
Giả sử ta có hàm số . Xét hai giá trị bất kỳ .
Ta có:
Vì nên, do đó .
=>với mọi.
Kết luận: Hàm số đồng biến trên cả.
Tương tự, xem xét hàm: Nếuthì , nghĩa là . Hàm này không đồng biến mà là nghịch biến.
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
• Không nhất thiết hàm số phải đồng biến trên toàn tập xác định. Hàm có thể đồng biến trên một khoảng, nghịch biến trên khoảng khác.
• Nếucho, thì hàm số KHÔNG đồng biến cũng KHÔNG nghịch biến tại hai điểm này.
• Một hàm hằngkhông phải là hàm đồng biến cũng không phải là hàm nghịch biến.
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
• Liên hệ với đạo hàm:
Hàm số đồng biến trênkhi và chỉ khivới mọi(điều này học kỹ trong Giải tích lớp 11).
• Liên hệ với bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến được thể hiện rõ trên bảng biến thiên và đồ thị của hàm số.
• Liên hệ với cực trị: Các điểm bắt đầu/kết thúc của những khoảng đồng biến thường là các điểm cực đại, cực tiểu.
6. Bài tập mẫu về hàm đồng biến và lời giải chi tiết
Bài tập 1: Cho hàm. Hỏi hàm số có đồng biến trênkhông?
Lời giải:
Lấy, ta có vì . Vậy hàm đồng biến trên.
Bài tập 2: Xét hàm. Hàm này có đồng biến trênkhông? Giải thích.
Lời giải:
Lấy, ta có vì . Hàm này là nghịch biến trên, không đồng biến.
Bài tập 3: Tìm điều kiện của để hàm đồng biến trên.
Lời giải:
Tức là .
Vì , nên hàm đồng biến khi.
Bài tập 4: Xét hàm. Hàm số này có đồng biến trên mọi khoảng không? Nếu không, xác định các khoảng đồng biến.
Lời giải:
Hàmkhông đồng biến trên.
- Trên, nếuthì → hàm đồng biến.
- Trên, nếuthì → hàm nghịch biến.
Kết luận: Hàm đồng biến trên.
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
- Nhầm lẫn giữa đồng biến và nghịch biến. Hãy cẩn thận xét dấu của hệ số hoặc đạo hàm.
- Không xác định đúng khoảng đồng biến, nhất là với các hàm bậc hai trở lên.
- Lẫn lộn với trường hợp hàm hằng hoặc điểm mà .
8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ
- Hàm đồng biến trên một khoảng khi.
- Không phải hàm nào cũng đồng biến trên toàn bộ tập xác định.
- Áp dụng kiến thức về đồng biến giúp xác định được cực trị, vẽ bảng biến thiên và đồ thị hàm số.
- Luôn chú ý xét dấu hệ số và xác định đúng khoảng nghiên cứu.
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại