1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 10, "Hàm khoảng cách" là kiến thức cơ bản, giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa các điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian tọa độ. Việc nắm vững hàm khoảng cách không chỉ giúp bạn giải các bài tập hình học tọa độ mà còn hữu ích khi vận dụng vào các bài toán thực tế như xác định vị trí, tính toán quãng đường hoặc tối ưu hóa đường đi.

Hiểu đúng khái niệm giúp bạn phát triển tư duy logic, cũng như chuẩn bị tốt cho các nội dung nâng cao về hình học và giải tích trong những năm tiếp theo. Các ứng dụng thực tế của hàm khoảng cách rất đa dạng: từ việc tìm vị trí gần nhất để xây nhà, đo khoảng cách giữa hai địa điểm, tới các bài toán khoa học, kỹ thuật.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 300+ bài tập hàm khoảng cách, dễ dàng lựa chọn theo mức độ từ cơ bản tới nâng cao.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hàm khoảng cách là hàm số mô tả độ dài đại số (tính theo trị tuyệt đối) giữa hai điểm trên trục số, trong mặt phẳng Oxy hoặc không gian Oxyz.
• Ký hiệu: Khoảng cách giữa hai điểm$A(x_1; y_1)$và $B(x_2; y_2)$ký hiệu là $AB$hay$d(A, B)$.
• Tính chất: Khoảng cách luôn là số không âm, chỉ bằng 0 khi hai điểm trùng nhau. Khoảng cách cũng tuân thủ bất đẳng thức tam giác.

Điều kiện áp dụng: Công thức hàm khoảng cách thường sử dụng trong hệ tọa độ vuông góc, với các điểm đã biết toạ độ.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức khoảng cách giữa hai điểm trên trục số:$A(x_1)$,$B(x_2) \rightarrow AB = |x_1 - x_2|$.
• Công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng: $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2) \rightarrow AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.
• Công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng$ax + by + c = 0$: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Cách ghi nhớ công thức: Nên viết lại công thức nhiều lần kết hợp với vẽ hình. Tập trung phân tích bài toán xem thuộc loại khoảng cách nào để chọn công thức phù hợp.

Biến thể: Công thức có thể mở rộng vào không gian ba chiều (Oxyz): $A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2) \rightarrow AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Tính khoảng cách giữa hai điểm$A(2; 3)$và $B(-1; 7)$.

Lời giải từng bước:

• Áp dụng công thức: $AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 7)^2}$.
• $AB = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Lưu ý: Nhớ lấy giá trị tuyệt đối khi cần, kiểm tra kỹ các dấu âm và số liệu trước khi tính.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Tìm khoảng cách từ điểm$M(1; 2)$ đến đường thẳng$3x - 4y + 8 = 0$.

• Áp dụng công thức: $d = \dfrac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$.
• Tính tử số:$|3 - 8 + 8| = |3 - 8 + 8| = |3| = 3$.
• Tính mẫu số: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
• Kết quả:$d = \frac{3}{5}$.

Kỹ thuật giải nhanh: Đặt công thức vào đúng vị trí, thay số chính xác, cẩn thận với dấu.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Hai điểm trùng nhau: Khoảng cách bằng 0.
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đi qua chính điểm đó: bằng 0.
• Liên hệ với các khái niệm: Khoảng cách có liên hệ chặt với độ dài, độ lớn vector và các bất đẳng thức hình học.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm định nghĩa hàm khoảng cách với độ lớn của một vector.
• Hiểu sai công thức (hay quên trị tuyệt đối ở công thức điểm-đường thẳng).

Cách ghi nhớ chính xác: Tự giải thích lại định nghĩa, so sánh với các khái niệm gần giống.

5.2 Lỗi về tính toán

• Sai dấu, tính sai bình phương trong công thức.
• Lỗi bỏ sót trị tuyệt đối.

Luôn kiểm tra lại đáp số, bấm máy tính với số liệu cụ thể nếu cần.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 300+ bài tập Hàm khoảng cách miễn phí trên hệ thống, chia theo mức độ từ dễ đến khó. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay để rèn luyện kỹ năng và theo dõi tiến độ học tập của mình mỗi ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hàm khoảng cách dùng tính độ dài giữa hai điểm, từ điểm tới đường thẳng, từ điểm tới mặt phẳng.
• Cần thuộc lòng và thành thạo các công thức cơ bản.
• Kiểm tra kỹ đơn vị, số liệu trước khi làm bài.
• Ôn tập đều định kỳ với nhiều dạng bài tập khác nhau.

Checklist trước khi làm bài: (1) Đọc kỹ đề, xác định loại khoảng cách cần tính; (2) Chọn đúng công thức; (3) Thay số chính xác; (4) Kiểm tra lại kết quả; (5) Xem lại phần lý thuyết nếu còn nhầm lẫn.

Kế hoạch ôn tập: Luyện đều mỗi ngày, làm từ cơ bản tới nâng cao, trao đổi với bạn bè, hỏi giáo viên khi gặp khó khăn.