1. Giới thiệu về hàm khoảng cách và tầm quan trọng

Trong toán học, "khoảng cách" không chỉ là khái niệm nói về độ dài mà chúng ta cảm nhận trong cuộc sống hàng ngày, mà còn là một khái niệm cơ bản giúp mô tả mối quan hệ giữa các điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian. Trong chương trình Toán lớp 10, việc hiểu hàm khoảng cách giúp học sinh giải quyết nhiều vấn đề hình học, đại số—như xác định vị trí tương đối các điểm, đường thẳng, hình tròn, cũng như là nền tảng cho các khái niệm toán học nâng cao sau này.

2. Định nghĩa chính xác hàm khoảng cách

Hàm khoảng cách (hay còn gọi là hàm đo khoảng cách) là một hàm số mô tả cách xác định khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong một không gian nhất định. Ký hiệu thông thường: d(A, B) là khoảng cách từ điểm A đến điểm B.

Định nghĩa tổng quát về hàm khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

3. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

Để tính khoảng cách giữa hai điểm, bạn thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm A$(x_1, y_1)$và B$(x_2, y_2)$.Bước 2: Tính hiệu từng hoành độ ($x_2 - x_1$) và tung độ ($y_2 - y_1$).Bước 3: Bình phương hai hiệu trên, cộng lại và lấy căn bậc hai kết quả.

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa$A(2,3)$và $B(5,7)$.

Áp dụng công thức:
$d(A,B) = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
Vậy $d(A,B) = 5$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

Một số trường hợp đặc biệt khi áp dụng hàm khoảng cách:

Hai điểm trùng nhau ($A = B$):$d(A,B) = 0$, vì $x_1 = x_2$và $y_1 = y_2$.Hai điểm cùng nằm trên trục hoành hoặc trục tung: khoảng cách đơn giản là hiệu tuyệt đối của hoành độ hoặc tung độ.Khoảng cách phải luôn không âm:$d(A,B) \geq 0$.

Lưu ý rằng hàm khoảng cách trong mặt phẳng Euclid (Oxy) tuân theo định lý Pitago.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm khoảng cách không chỉ xuất hiện trong hình học mà còn liên quan đến các lĩnh vực khác của toán học như:

- Đại số: Được sử dụng để tính độ dài vecto, chuẩn vecto trong mặt phẳng.- Hình học: Xác định vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng, điểm và mặt phẳng,...- Giải tích và không gian metric: Định nghĩa không gian metric dựa trên khái niệm hàm khoảng cách.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Nhầm lẫn thứ tự trừ các tọa độ: Luôn nhớ $(x_2 - x_1)$,$(y_2 - y_1)$(nhưng do bình phương nên kết quả không đổi).Quên lấy căn bậc hai khi tính khoảng cách.Quên bình phương từng phần hiệu.Nhập sai dấu toạ độ dẫn đến tính sai kết quả.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm khoảng cách là công cụ toán học quan trọng để xác định độ dài/ khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
- Công thức tính trong hệ tọa độ Oxy: $d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
- Luôn kiểm tra dữ liệu trước khi áp dụng công thức.
- Hiểu bản chất hàm khoảng cách giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan hình học, đại số.
- Cẩn thận với các lỗi thường gặp trong tính toán.

Việc hiểu rõ hàm khoảng cách giúp học sinh lớp 10 hình thành tư duy phân tích hình học vững chắc—là nền móng để học tốt các chương tiếp theo trong toán học.