1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, "Hàm khoảng cách" là một trong những khái niệm nền tảng của hình học tọa độ. Đây là công cụ thiết yếu giúp học sinh tìm được khoảng cách giữa hai điểm, giữa điểm và đường thẳng hoặc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Việc hiểu rõ khái niệm và biết vận dụng linh hoạt hàm khoảng cách không chỉ giúp bạn giải quyết nhanh chóng các dạng bài tập trong chương trình phổ thông mà còn rất quan trọng trong các kì thi như THPT Quốc gia hoặc Olympic toán học.

Ngoài ra, công thức về khoảng cách còn có ứng dụng thực tiễn trong đời sống: ví dụ như xác định vị trí ngắn nhất giữa hai điểm, tối ưu hóa đường di chuyển, thiết kế bản đồ số, đo đạc… Và bạn hoàn toàn có thể luyện tập miễn phí với hơn 40.504 bài tập về Hàm khoảng cách ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hàm khoảng cách là hàm dùng để tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai đối tượng hình học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng…). Ở lớp 10, chủ yếu là các trường hợp: khoảng cách giữa hai điểm, giữa điểm và đường thẳng, giữa hai đường thẳng song song.

- Các tính chất chính:

• Khoảng cách luôn là số không âm.
• Khoảng cách bằng 0 khi hai đối tượng trùng nhau.
• Khoảng cách giữa A đến B bằng khoảng cách từ B đến A.

- Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng khi các đối tượng ở trong cùng một mặt phẳng tọa độ hoặc không gian phù hợp.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cơ bản:

• Khoảng cách giữa 2 điểm$A(x_1, y_1)$và $B(x_2, y_2)$:
• $d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
• Khoảng cách từ điểm$M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng$Ax+By+C=0$:
• $d(M, d):= \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song$d_1: Ax+By+C_1=0$và $d_2: Ax+By+C_2=0$:
• $d(d_1, d_2) = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

- Mẹo ghi nhớ công thức hiệu quả: Hãy liên hệ công thức khoảng cách với định lý Pythagore hoặc liên hệ thực tế (ví dụ giữa hai ngôi nhà trên bản đồ).

- Mỗi công thức đều có điều kiện sử dụng riêng, ví dụ công thức khoảng cách hai đường thẳng chỉ áp dụng cho hai đường song song (hoặc trùng nhau).

Biến thể: Có thể sử dụng công thức tương tự để tính trong không gian (lớp cao hơn).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

- Bài toán: Tính khoảng cách giữa hai điểm$A(1, 2)$và $B(4, 6)$.

+ Bước 1: Áp dụng công thức |
$d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

+ Bước 2: Thay số vào:
$d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

- Lưu ý: Nhớ lấy giá trị tuyệt đối và căn bậc hai. Để tránh nhầm lẫn, bạn có thể vẽ hình minh họa trên mặt phẳng toạ độ.

3.2 Ví dụ nâng cao

- Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm$M(2, -1)$ đến đường thẳng$3x + 4y - 12 = 0$.

+ Áp dụng công thức |
$d(M, d) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

+ Thay số vào:
$A=3$,$B=4$,$C=-12$,$x_0=2$,$y_0=-1$
Ta có:$|3.2 + 4.(-1) -12| = |6 - 4 -12| = |-10| = 10$

$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Vậy$d(M, d)= \frac{10}{5} = 2$

- Lưu ý: Hãy cẩn thận với dấu của các hằng số. Hãy ghi lại từng bước để tránh thiếu sót.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khoảng cách bằng 0 khi điểm nằm trên đường thẳng hoặc hai đường thẳng trùng nhau.

- Khi hai đường thẳng không song song (cắt nhau), khoảng cách giữa chúng là 0.

- Mối liên hệ: Khái niệm hàm khoảng cách liên quan mật thiết tới véc-tơ, vị trí tương đối của các hình trong mặt phẳng, là nền tảng để học các chủ đề hình học không gian nâng cao.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm giữa khoảng cách với độ dài véc-tơ dịch chuyển.

- Nhầm với đơn vị hoặc đối tượng tính toán (điểm – đường thẳng, đoạn thẳng…).

- Cách ghi nhớ: Luôn xác định rõ bạn đang tính khoảng cách giữa những đối tượng nào.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên lấy giá trị tuyệt đối ở tử số.

- Nhập sai số, tính thiếu căn hoặc quên bình phương đúng từng hạng tử.

- Phương pháp kiểm tra: Sau khi ra kết quả, thử thay lại tọa độ, hoặc vẽ hình kiểm chứng.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 40.504+ bài tập Hàm khoảng cách miễn phí. Bạn không cần đăng ký, có thể luyện tập bất cứ lúc nào và theo dõi tiến độ hoàn toàn miễn phí.

- Sẵn sàng kiểm tra trình độ và cải thiện kỹ năng với hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Điểm cần nhớ: Công thức khoảng cách giữa các đối tượng, điều kiện áp dụng và kỹ năng tránh nhầm lẫn.

• Xác định rõ đối tượng cần tính khoảng cách (điểm - điểm, điểm - đường, đường - đường)
• Áp dụng đúng công thức tương ứng
• Luôn lấy giá trị tuyệt đối ở tử số
• Có thể vẽ hình để kiểm tra trực quan

- Checklist ôn tập: Học kỹ lý thuyết, làm các ví dụ mẫu, luyện tập các đề cơ bản và nâng cao để thực hành và làm quen với nhiều tình huống bài toán khác nhau.