1. Giới thiệu về hàm khoảng cách và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, khái niệm "hàm khoảng cách" (còn gọi là công thức khoảng cách hoặc định nghĩa về khoảng cách giữa hai điểm) đóng vai trò nền tảng quan trọng, đặc biệt trong phần hình học phẳng và đại số. Đây là công cụ giúp học sinh xác định vị trí, mối quan hệ giữa các điểm trong mặt phẳng hoặc không gian, hỗ trợ giải quyết các bài toán về hình học, xác định độ dài đoạn thẳng, tâm đường tròn, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, v.v. Việc nắm vững khái niệm này còn giúp học sinh dễ dàng tiếp cận các bài toán nâng cao và thực tế.

2. Định nghĩa hàm khoảng cách

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách giữa hai điểm$A(x_1, y_1)$và $B(x_2, y_2)$ được xác định bởi công thức:

Hàm số xác định khoảng cách này được gọi là hàm khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng. Trong toán học tổng quát, "hàm khoảng cách" (hay "metric") cũng là tên gọi chung cho các hàm xác định độ lớn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong không gian, thỏa mãn một số tính chất sau: (1) Không âm, (2) Khoảng cách từ một điểm đến chính nó bằng 0, (3) Tính đối xứng, (4) Bất đẳng thức tam giác.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về hàm khoảng cách, hãy xem xét ví dụ sau:

Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai điểm$A(2, 3)$và $B(5, 7)$.

1. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm:$A(x_1, y_1) = (2, 3)$;$B(x_2, y_2) = (5, 7)$.
2. Bước 2: Thay vào công thức:
3. d(A, B) = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
4. Vậy, khoảng cách giữa hai điểm là $5$ đơn vị.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu hai điểm$A$và $B$trùng nhau, khoảng cách$d(A, B) = 0$.
• Nếu hai điểm nằm trên cùng một trục hoành ($y_1 = y_2$), khoảng cách chỉ là hiệu trị tuyệt đối hoành độ:$|x_2 - x_1|$.
• Nếu hai điểm nằm trên cùng một trục tung ($x_1 = x_2$), khoảng cách là $|y_2 - y_1|$.
• Luôn lấy căn bậc hai của tổng bình phương các hiệu – không được lấy giá trị âm.
• Trong không gian 3 chiều, công thức mở rộng thành: $d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm khoảng cách liên hệ mật thiết với Pythagore (định lý về bình phương cạnh huyền), định nghĩa đường tròn, phương trình đường trung trực, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, và trong các không gian tổng quát, nó còn là nền tảng cho khái niệm không gian metric.

• Nếu$A$cố định, tập hợp các điểm$B$cách$A$một khoảng không đổi$R$tạo thành đường tròn tâm$A$, bán kính$R$.
• Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng$Ax + By + C = 0$là:$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$A(-1, 2)$và $B(3, -2)$. Tính khoảng cách$AB$.

1. Áp dụng công thức: $d(A, B) = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Bài 2: Hai điểm$M(-2, 5)$và $N(4, 5)$. Tính$d(M, N)$.

1. Vì $y_1 = y_2 = 5$, nên$d(M, N) = |x_2 - x_1| = |4 - (-2)| = 6$.

Bài 3: Điểm$C(1, -3)$và $D(1, 2)$. Tính$CD$.

1. Vì $x_1 = x_2 = 1$, nên$d(C, D) = |y_2 - y_1| = |2 - (-3)| = 5$.

Bài 4: Cho$E(2, 1, 1)$và $F(-1, 5, 6)$trong không gian. Tính$EF$.

1. Áp dụng công thức không gian: $d(E, F) = \sqrt{(2 + 1)^2 + (1 - 5)^2 + (1 - 6)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn vị trí $x_1, x_2, y_1, y_2$: Hãy ghi chú rõ tên điểm theo tọa độ, tránh thay nhầm vào công thức.
• Quên trị tuyệt đối hoặc bình phương dẫn đến kết quả âm: Luôn lấy bình phương hiệu tọa độ trước khi cộng và khai căn.
• Bỏ sót căn bậc hai cuối cùng: Sau khi cộng các bình phương, nhớ lấy căn để ra khoảng cách.

8. Tóm tắt và những điểm chính cần nhớ

• Hàm khoảng cách là công cụ cơ bản trong hình học và đại số, giúp xác định độ dài giữa hai điểm.
• Công thức tổng quát: $d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
• Áp dụng trong bài toán xác định tâm, bán kính đường tròn, đường trung trực, hoặc các bài toán hình học không gian.
• Nhớ áp dụng đúng từng bước, kiểm tra kỹ các phép toán và chú ý đến các trường hợp đặc biệt.