1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm khoảng cách là một trong những khái niệm nền tảng của chương trình toán học lớp 10, đặc biệt quan trọng trong phần hình học giải tích. Hiểu rõ về hàm khoảng cách giúp bạn dễ dàng giải các bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm, điểm và đường thẳng, điểm và mặt phẳng trong không gian.

Việc nắm vững hàm khoảng cách không chỉ phục vụ cho việc học tập, mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế, như đo đạc khoảng cách thực địa, thiết kế kỹ thuật, xác định vị trí trong bản đồ, định vị GPS,... Ngoài ra, đây là dạng toán xuất hiện phổ biến trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ và thi vào các trường chuyên, đại học.

Để rèn luyện kỹ năng thành thạo, bạn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với 40.504+ bài tập về hàm khoảng cách ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

### 2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm$A(x_1, y_1)$và $B(x_2, y_2)$được kí hiệu là$AB$và được tính bởi công thức:

- Khoảng cách từ điểm$M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng$Ax + By + C = 0$là:

- Nếu$A$và $B$là hai điểm trong không gian tọa độ $Oxyz$thì:

- Khoảng cách từ điểm$M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng$Ax + By + Cz + D = 0$:

- Tính chất chính: Hàm khoảng cách luôn không âm, chỉ bằng 0 khi hai đối tượng trùng nhau.

Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng đúng khi xác định đúng loại đối tượng (điểm, đường, mặt phẳng) và các hệ số đều xác định rõ ràng.

### 2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần nhớ:

• Khoảng cách giữa hai điểm: $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2}$
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: $d=\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
• Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: $d=\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Cách ghi nhớ hiệu quả: Nên vận dụng qua các bài tập thực hành nhiều lần, liên hệ hình ảnh trực quan (vẽ hình), đọc kỹ đề các khái niệm liên quan.

- Mỗi công thức chỉ dùng đúng cho loại đối tượng tương ứng (không dùng công thức điểm-đường thẳng để tính khoảng cách hai điểm, v.v.)

3. Ví dụ minh họa chi tiết

### 3.1 Ví dụ cơ bản

- Bài toán: Tính khoảng cách giữa hai điểm$A(2,3)$và $B(5,7)$.

- Bước 1: Xác định tọa độ các điểm:$A(2,3), B(5,7)$

- Bước 2: Áp dụng công thức: $AB=\sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$

- Lưu ý: Luôn lấy bình phương hiệu các tọa độ, không quan trọng thứ tự vì kết quả là số dương.

### 3.2 Ví dụ nâng cao

- Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm$M(1,2)$ đến đường thẳng$3x - 4y + 5 = 0$.

- Ta áp dụng công thức:

=> Điểm$M$nằm trên đường thẳng, do đó d = 0.

- Kỹ thuật giải nhanh: Khi thay giá trị tọa độ vào phương trình đường thẳng, nếu kết quả là 0, tức là điểm đó nằm trên đường thẳng.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khoảng cách giữa hai điểm cùng tọa độ là 0.
• Khoảng cách từ điểm đến chính nó hoặc điểm thuộc đường, mặt phẳng là 0.
• Nếu phương trình đường thẳng hoặc mặt phẳng chưa đưa về dạng chuẩn, cần chuyển đổi trước khi áp dụng công thức.
• Hàm khoảng cách liên hệ chặt chẽ với định lý Pitago, vector, và công thức tọa độ.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

#### 5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu nhầm: Khoảng cách có thể âm (sai – khoảng cách luôn không âm).
• Nhầm lẫn giữa khoảng cách hai điểm và từ điểm đến đường thẳng/mặt phẳng.

#### 5.2 Lỗi về tính toán

• Nhầm dấu$+$,$-$trong hiệu tọa độ.
• Quên trị tuyệt đối hoặc căn bậc hai.
• Tính sai tổng các bình phương.

Cách kiểm tra: Tự thế lại kết quả vào phương trình để xác nhận; so sánh kết quả với giải thích hình học (vẽ hình nếu cần).

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Hãy truy cập ngay bộ 40.504+ bài tập Hàm khoảng cách miễn phí để ôn luyện, củng cố kỹ năng, không cần đăng ký, hoàn toàn miễn phí.

- Hệ thống sẽ tự động theo dõi tiến độ học tập, giúp bạn nhận ra điểm mạnh, điểm yếu và cải thiện hiệu quả.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Các điểm chính về hàm khoảng cách:

• Nắm chắc công thức tính khoảng cách giữa điểm – điểm, điểm – đường, điểm – mặt phẳng.
• Không được quên trị tuyệt đối và căn bậc hai trong công thức.
• Cẩn thận khi thay số, kiểm tra kết quả bằng hình học hoặc vẽ hình.

Checklist trước khi làm bài:

• Đã xác định đúng đối tượng (điểm hay đường, mặt phẳng)?
• Chọn đúng công thức?
• Đã nhập đúng số vào công thức?

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Tập trung luyện nhiều dạng bài khác nhau, ghi chú lại những lỗi thường gặp và học cách kiểm tra kết quả.