1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm khoảng cách là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong hình học và tọa độ lớp 10. Hiểu về hàm khoảng cách giúp học sinh xác định được vị trí, tính toán khoảng cách giữa các điểm, từ đó giải quyết rất nhiều bài toán thực tiễn trong học tập và cuộc sống. Ví dụ, tính quãng đường đi giữa hai vị trí trên bản đồ, xác định vị trí tối ưu để xây dựng công trình, hay lập trình các ứng dụng liên quan đến bản đồ và điều hướng.

Học tốt khái niệm này đồng nghĩa với việc làm chủ nền tảng hình học tọa độ – chìa khóa để thành công trong các kỳ kiểm tra quan trọng. Đặc biệt, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập Hàm khoảng cách tại MathX.vn!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai điểm$A(x_A, y_A)$và $B(x_B, y_B)$trong mặt phẳng tọa độ là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó.
• Công thức:
• $d(A,B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$
• Tính chất: Khoảng cách luôn là số không âm; Khoảng cách giữa điểm với chính nó là $0$.
• Giới hạn áp dụng: Công thức chỉ đúng trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc (Oxy), với đơn vị đo giống nhau trên cả hai trục.

2.2 Công thức và quy tắc

• Khoảng cách giữa hai điểm$A(x_A, y_A)$và $B(x_B, y_B)$:
• $d(A,B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$
• Khoảng cách từ điểm$M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng$ax + by + c = 0$:
• $d(M, d) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
• Hãy ghi nhớ: Đọc lại và ghi các công thức này ra giấy. Học thuộc bằng cách làm nhiều ví dụ!

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai điểm$A(2, 3)$và $B(7, 6)$.

Giải từng bước:

• $d(A,B) = \sqrt{(2 - 7)^2 + (3 - 6)^2}$
• $= \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2}$
• $= \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$

Lưu ý: Luôn ghi nhớ bình phương hiệu từng hoành và từng tung, kết quả lấy căn bậc hai tổng hai bình phương.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm$M(1, -2)$ đến đường thẳng$3x - 4y + 5 = 0$.

• Áp dụng công thức: $d(M, d) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
• Thay số: $d(M, d) = \frac{|3 \times 1 -4 \times (-2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
• $= \frac{|3 + 8 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{16}{5} = 3.2$

Mẹo: Khi thay dấu, kiểm tra kỹ từng phép toán, đặc biệt là dấu của các hệ số và hằng số.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khoảng cách giữa hai điểm trùng nhau luôn bằng$0$.
• Khoảng cách từ điểm bất kỳ tới trục Ox: lấy tung độ tuyệt đối.
• Khoảng cách từ điểm bất kỳ tới trục Oy: lấy hoành độ tuyệt đối.
• Liên hệ: Hàm khoảng cách gắn liền với bài toán xác định tâm đường tròn, bài tập về tiệm cận, hình học không gian.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai: Nhầm lẫn giữa công thức khoảng cách hai điểm và độ dài vector.
• Dễ nhầm với công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian (3D).
• Phân biệt: Kiểm tra kỹ đề bài là trên mặt phẳng Oxy hay không gian Oxyz.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên lấy căn, quên bình phương.
• Tính nhầm hiệu hoặc thay số sai dấu.
• Kiểm tra bằng cách làm lại phép toán từng bước. Đặt máy tính kiểm tra lại kết quả.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 200+ bài tập Hàm khoảng cách miễn phí ngay trên MathX.vn! Không cần đăng ký, luyện tập ngay và luôn để kiểm tra năng lực bản thân. Website còn cho phép lưu lại tiến độ để bạn dễ dàng theo dõi sự tiến bộ của mình.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng Oxy là $<br> d(A,B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $ax + by + c = 0$là $<br> d(M, d) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
• Lỗi cần tránh: Nhầm dấu, tính toán sai hoặc quên điều kiện sử dụng công thức.
• Hãy luyện tập thật nhiều để tự tin khi làm bài kiểm tra!