Blog

Lớp 10

Hàm lượng giác: Khái niệm, Định nghĩa và Ứng dụng dành cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về hàm lượng giác và tầm quan trọng

Hàm lượng giác là một khái niệm nền tảng trong chương trình toán học lớp 10, đóng vai trò quan trọng trong học tập và ứng dụng kiến thức toán học sau này. Hàm lượng giác xuất hiện không chỉ trong các bài toán hình học mà còn trong vật lý, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác. Việc nắm vững các hàm lượng giác giúp học sinh có khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến góc, chu kỳ, sóng và mô hình hoá các hiện tượng thực tế.

2. Định nghĩa chính xác về hàm lượng giác

Hàm lượng giác là các hàm liên hệ giữa các góc của tam giác vuông và tỷ số các cạnh của tam giác. Sáu hàm lượng giác cơ bản gồm: sin (sin⁡\sin), cos (cos⁡\cos), tan (tan⁡\tan), cot (cot⁡\cot), sec (sec⁡\sec), và cosec (csc⁡\csc).

3. Giải thích từng hàm lượng giác với ví dụ minh họa

Xét một tam giác vuông ABC, gócAAlà góc nhọn, cạnh đối diện gócAAlà aa, cạnh kề là bb, cạnh huyền là cc.

  • + Hàm sin: sin⁡A=cạnh đoˆˊicạnh huyeˆˋn=ac\sin A = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{a}{c}
  • + Hàm cos: \cos A = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{b}{c}
  • + Hàm tan: \tan A = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{a}{b}
  • + Hàm cot: \cot A = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{b}{a}
  • + Hàm sec: sec⁡A=1cos⁡A=cb\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{c}{b}
  • + Hàm cosec (hay csc): csc⁡A=1sin⁡A=ca\csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{c}{a}

    • Ví dụ minh họa: Cho tam giác vuông có cạnh đối diện gócAAlà 3, cạnh kề là 4, cạnh huyền là 5. Tính các hàm lượng giác của gócAA:

    + sin⁡A=35=0,6\sin A = \frac{3}{5} = 0,6

    +cos⁡A=45=0,8\cos A = \frac{4}{5} = 0,8

    +tan⁡A=34=0,75\tan A = \frac{3}{4} = 0,75

    +cot⁡A=43≈1,333\cot A = \frac{4}{3} \approx 1,333

    + sec⁡A=54=1,25\sec A = \frac{5}{4} = 1,25

    +csc⁡A=53≈1,667\csc A = \frac{5}{3} \approx 1,667

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

    • - Khi gócA=0∘A = 0^\circhoặcA=90∘A = 90^\circ, các hàm lượng giác có giá trị đặc biệt:

    + sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0, cos⁡0∘=1\cos 0^\circ = 1

    + sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1, cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0

    +tan⁡0∘=0\tan 0^\circ = 0,tan⁡90∘\tan 90^\circkhông xác định

    • - Các góc đặc biệt thường gặp:30∘30^\circ,45∘45^\circ,60∘60^\circ,...

    Bảng giá trị các hàm lượng giác:

    <br />\begin{array}{|c|c|c|c|}<br />\hline<br />\theta & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\<br />\hline<br />\sin \theta & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\<br />\cos \theta & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\<br />\tan \theta & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \\<br />\hline<br />\\\end{array}<br />

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • - Định lý Py-ta-go: Liên hệ giữa độ dài cạnh trong tam giác vuông, dùng để tính các hàm lượng giác.
  • - Vòng tròn lượng giác: Giúp biểu diễn các giá trị của hàm lượng giác với các góc bất kỳ trên mặt phẳng.
  • - Hàm số lượng giác và đồ thị: Là cơ sở để học phần “hàm số lượng giác” trong chương trình toán học.

    • 6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Cho tam giác vuông có gócA=30∘A=30^\circ, cạnh huyềnc=10c=10. Tính cạnh đối và cạnh kề của gócAA.

    Giải:

    Ta có:

    sin⁡30∘=cạnh đoˆˊicạnh huyeˆˋn⇒cạnh đoˆˊi=10×sin⁡30∘=10×12=5\sin 30^\circ = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} \\ \Rightarrow \text{cạnh đối} = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times \frac{1}{2} = 5

    cos⁡30∘=cạnh keˆˋcạnh huyeˆˋn⇒cạnh keˆˋ=10×cos⁡30∘=10×32=53\cos 30^\circ = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} \\ \Rightarrow \text{cạnh kề} = 10 \times \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}

    Bài tập 2: Biết tan⁡A=2\tan A = 2, tìm sin⁡A\sin Avà cos⁡A\cos A.

    Gọi cạnh đối là aa, cạnh kề là bb.tan⁡A=ab=2⇒a=2b\tan A=\frac{a}{b}=2 \Rightarrow a=2b

    Cạnh huyền c=a2+b2=(2b)2+b2=4b2+b2=b5c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2b)^2+b^2}=\sqrt{4b^2+b^2}=b\sqrt{5}

    Do đó:

    sin⁡A=ac=2bb5=25\sin A=\frac{a}{c}=\frac{2b}{b\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}

    cos⁡A=bc=bb5=15\cos A=\frac{b}{c}=\frac{b}{b\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • - Đổi nhầm cạnh đối - kề: Phải xác định rõ cạnh đối và cạnh kề với góc đang xét.
  • - Quên rằng kết quả phải nhỏ hơn hoặc bằng 1 với sin, cos (trong tam giác vuông).
  • - Sử dụng sai đơn vị góc: Cần phân biệt độ và radian (trong chương trình lớp 10 chủ yếu sử dụng độ).
  • - Tính toán sai khi sử dụng máy tính (phải đặt đúng chế độ độ/radian phù hợp).

    • 8. Tóm tắt và ghi nhớ các điểm chính

  • - Hàm lượng giác là những tỷ số liên quan giữa các cạnh trong tam giác vuông và góc nhọn.
  • - Sáu hàm lượng giác cơ bản: sin, cos, tan, cot, sec, csc.
  • - Biết giá trị đặc biệt và biết sử dụng đúng công thức là chìa khóa để giải nhanh bài tập.
  • - Luôn chú ý xác định đúng cạnh đối, cạnh kề so với góc đang xét!
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".