Hàm lượng giác: Khái niệm, tính chất & hướng dẫn học cho lớp 10

1. Giới thiệu về hàm lượng giác và tầm quan trọng

Hàm lượng giác là một trong những khái niệm trung tâm và không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 10 cũng như toàn bộ quá trình học toán THPT. Các hàm lượng giác giúp mô tả các mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông, đồng thời mở rộng ra các ứng dụng trong hình học, vật lý, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực thực tế. Khả năng hiểu và vận dụng các hàm lượng giác sẽ giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, giải quyết tốt các dạng bài tập đa dạng, từ hình học phẳng đến giải phương trình và bất phương trình lượng giác về sau.

2. Định nghĩa chính xác về hàm lượng giác

Hàm lượng giác là các hàm số mô tả mối quan hệ giữa các góc và độ dài các cạnh trong một tam giác vuông. Sáu hàm lượng giác cơ bản bao gồm: sin (sinus), cos (cosinus), tan (tangens), cot (cotangens), sec (secans), và cosec (cosecans). Trong tam giác vuông có một góc nhọn$x$, ta định nghĩa:

• $\sin x = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}$
• \cos x = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}
• $\tan x = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x})$
• $\cot x = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}(\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x})$
• $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$
• $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$

3. Minh họa định nghĩa bằng ví dụ cụ thể

Xét tam giác vuông$ABC$tại$A$,$\angle ABC = x$. Gọi cạnh góc vuông$AB = a$,$AC = b$, cạnh huyền$BC = c$.

• $\sin x = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{b}{c}$
• $\cos x = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{a}{c}$
• $\tan x = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{b}{a}$

Ví dụ: Cho tam giác vuông $ABC$vuông tại$A$, $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$. Tính $\sin B$, $\cos B$, $\tan B$:

• $\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5}$
• $\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$
• $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

a) Góc đặc biệt$0^\circ$,$30^\circ$,$45^\circ$,$60^\circ$,$90^\circ$hay$0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$(đo bằng radian)
Bảng giá trị các hàm lượng giác:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \\
\hline
\sin x & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
\cos x & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\
\tan x & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & \text{không xác định} \\
\hline
\\\end{array}

b) Lưu ý: $\tan x$không xác định tại khi$\cos x = 0$ ($x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$). $\cot x$không xác định khi$\sin x = 0$ ($x = k \pi$). Luôn xác định xem hàm lượng giác có xác định tại giá trị góc xét tới hay không.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Các hàm lượng giác là cầu nối giữa hình học và đại số trong toán học. Ngoài việc xuất hiện trong các bài toán tam giác, chúng còn có vai trò then chốt trong phương trình lượng giác, giải tích, hình học giải tích và vật lý (chẳng hạn: dao động điều hòa, sóng, cơ học). Các đồng nhất thức lượng giác như $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$, $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ sẽ được áp dụng rất nhiều trong chương trình lớp 10, 11, 12.

Bên cạnh đó, trong hệ tọa độ Oxy, các hàm lượng giác giúp biểu diễn điểm trên đường tròn lượng giác: Nếu điểm $M$ trên đường tròn đơn vị ($r = 1$), tạo với trục Ox một góc $x$, thì tọa độ của $M$là $(\cos x, \sin x)$.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Cho tam giác vuông $ABC$tại$A$, $AB = 5$, $AC = 12$, $BC = 13$. Tính $\sin B$, $\cos B$, $\tan B$, $\cot B$.

Lời giải

Cạnh huyền$BC = 13$, cạnh kề góc$B$là $AB = 5$, cạnh đối là $AC = 12$.

• $\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{13}$
• $\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13}$
• $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{5}$
• $\cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{12}$

Bài 2: Cho $\sin x = \dfrac{3}{5}$, $x$là góc nhọn. Tính$\cos x$và $\tan x$.

Lời giải

Ta có: $\sin x = \dfrac{3}{5}$, cạnh đối là 3, cạnh huyền là 5. Áp dụng định lý Pytago tìm cạnh kề: $a^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow a^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow a = 4$ (do góc nhọn nên lấy số dương).

• $\cos x = \dfrac{4}{5}$
• $\tan x = \dfrac{3}{4}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa "cạnh đối" và "cạnh kề" trong tam giác vuông.
• Chưa xác định rõ góc đang xét, dẫn tới áp dụng sai tỉ số lượng giác.
• Áp dụng giá trị hàm lượng giác của góc nhọn cho góc tù hay góc bất kỳ mà chưa học mở rộng lý thuyết.
• Sử dụng sai căn thức: Khi tính cạnh còn lại, luôn xác định đó là độ dài và kết quả phải dương.
• Quên kiểm tra điều kiện xác định của hàm (ví dụ: chia cho 0 khi tính$tan x$,$cot x$).

8. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ

Hàm lượng giác cơ bản giúp xác định mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông. Ghi nhớ định nghĩa, các giá trị đặc biệt, các đồng nhất thức cơ bản là nền tảng cho toàn bộ chương trình lượng giác và các chuyên đề toán THPT. Nắm vững khái niệm này sẽ giúp các em học tốt các chương sau: phương trình lượng giác, hình học giải tích, và vận dụng thực tế.