Blog

Hàm nghịch biến: Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn học cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về hàm nghịch biến và tầm quan trọng trong toán học lớp 10

Trong chương trình Toán học lớp 10, khái niệm về "hàm số" nói chung và "hàm nghịch biến" nói riêng đóng vai trò nền tảng cực kỳ quan trọng cho việc học tập các phần kiến thức tiếp theo. Hiểu về hàm nghịch biến không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán về hàm số mà còn tạo tiền đề để học các chủ đề nâng cao như đạo hàm, khảo sát hàm số, bất phương trình, và giải tích sau này.

2. Định nghĩa chính xác về hàm nghịch biến

Ta có định nghĩa như sau:

Cho hàm số y=f(x)y = f(x)xác định trên tậpDD. Hàm số y=f(x)y = f(x) được gọi là nghịch biến trênDDnếu với mọix1,x2x_1, x_2thuộcDDsao chox1<x2x_1 < x_2thì f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2).

Tóm lại: Hàm số nghịch biến là hàm số mà khixxcàng tăng thì f(x)f(x)càng giảm (và ngược lại).

3. Ví dụ minh họa về hàm nghịch biến

Ví dụ 1: Xét hàm số y=2x+1y = -2x + 1trên tập số thựcR\mathbb{R}.

Giả sử x1<x2x_1 < x_2, ta có:
y1=2x1+1y_1 = -2x_1 + 1
y2=2x2+1y_2 = -2x_2 + 1
Tìmy1y2y_1 - y_2:

y1y2=[2x1+1][2x2+1]=2x1+2x2=2(x2x1)y_1 - y_2 = [-2x_1 + 1] - [-2x_2 + 1] = -2x_1 + 2x_2 = 2(x_2 - x_1)
x1<x2x_1 < x_2nênx2x1>0x_2 - x_1 > 0nêny1y2>0y_1 - y_2 > 0hayy1>y2y_1 > y_2.
Vậyy=2x+1y = -2x + 1là hàm nghịch biến trênR\mathbb{R}.

Ví dụ 2: Hàm số y=1xy = \frac{1}{x}trên khoảng(0,+)(0, +\infty).
Chọnx1<x2x_1 < x_2vớix1,x2>0x_1, x_2 > 0:

Khix1<x2x_1 < x_2thì 1x1>1x2\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}, do mẫu số nhỏ hơn thì phân số lớn hơn.
Vậyy=1xy = \frac{1}{x}là hàm nghịch biến trên khoảng(0,+)(0, +\infty).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • - Không phải mọi hàm số đều là nghịch biến trên toàn bộ tập xác định. Một số hàm chỉ nghịch biến trên một khoảng nào đó.
  • - Một hàm số có thể vừa đồng biến trên khoảng này, vừa nghịch biến trên khoảng kia (ví dụ hàm bậc 2).
  • - Đối với các hàm số chứa tham số, cần xét dấu hệ số trướcxxkhi xác định tính nghịch biến.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • - Hàm đồng biến: Là hàm mà khixxtăng thì f(x)f(x)cũng tăng. Khái niệm này đối lập với hàm nghịch biến.
  • - Đạo hàm: Sau này khi học đạo hàm, nếuf(x)<0f'(x) < 0trên một khoảng thì f(x)f(x)là hàm nghịch biến trên khoảng đó.
  • - Dùng tính nghịch biến để giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, khảo sát đồ thị hàm số.

6. Bài tập mẫu về hàm nghịch biến (có lời giải chi tiết)

  • Bài 1:
    Xét hàm số y=3x+5y = -3x + 5trênR\mathbb{R}. Hàm số này có phải là hàm nghịch biến không? Vì sao?
  • Giải:
    Chox1<x2x_1 < x_2, khi đó:
    y1=3x1+5y_1 = -3x_1 + 5
    y2=3x2+5y_2 = -3x_2 + 5
    y1y2=3x1+3x2=3(x2x1)y_1 - y_2 = -3x_1 + 3x_2 = 3(x_2 - x_1)
    x2x1>0x_2 - x_1 > 0nêny1>y2y_1 > y_2.
    Vậy hàm số là nghịch biến trênR\mathbb{R}.
  • Bài 2:
    Cho hàm số y=2x28x+3y = 2x^2 - 8x + 3. Xét tính nghịch biến trên các khoảng:
    (a)(;2)(-\infty; 2), (b)(2;+)(2; +\infty).
  • Giải:
    Đạo hàm:
    y=4x8y' = 4x - 8

    - Trên(;2)(-\infty; 2):x<24x8<0x < 2 \Rightarrow 4x - 8 < 0 \Rightarrowhàm số nghịch biến.
    - Trên(2;+)(2; +\infty):x>24x8>0x > 2 \Rightarrow 4x - 8 > 0nên đồng biến.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • - Nhầm lẫn giữa nghịch biến với đồng biến (chú ý biểu hiện củaf(x)f(x)khixxtăng).
  • - Bỏ qua điều kiện xác định của hàm số (phải xét trên khoảng xác định hợp lệ của hàm).
  • - Chỉ xét một vài giá trị mà không chứng minh cho mọix1<x2x_1 < x_2trên toàn tập xác định (cần tổng quát, không chỉ thử vài số cụ thể).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • - Hàm số nghịch biến là hàm mà f(x)f(x)giảm khixxtăng.
  • - Định nghĩa chính xác: Nếux1<x2x_1 < x_2thì f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2)với mọix1,x2x_1, x_2trong tập xác định.
  • - Không phải mọi hàm đều nghịch biến trên toàn bộ tập xác định, phải xem xét khoảng xác định cụ thể.
  • - Tính nghịch biến liên quan chặt chẽ tới đạo hàm khi học chương trình nâng cao.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".